Введение

Нормальные конусы в реальных векторных пространствах В алгебраической геометрии нормальный конус подсхемы схемы аналогичен нормальному пучка или трубчатому соседству в дифференциальной геометрии.

Картезианский квадрат

Для картезианского квадрата с вертикальной картой существует закрытое встраивание нормальных конусов.

Размер компонентов

Пусть будет схема конечного типа по поле и закрытая подсхема. Если имеет чистое измерение r, то есть каждый неснижаемый компонент имеет измерение r, то также имеет чистое измерение r. (Это можно рассматривать как следствие деформации нормального конуса). Это свойство является ключом к применению в теории пересечения: при наличии пары закрытых подсхем в некотором окружающем пространстве, в то время как схема теоретического пересечения имеет неразрешимые компоненты различных измерений, в зависимости от деликатных положений , нормальный конус до имеет чистое измерение.

Примеры

Пусть будет эффективным делителем Картье. Тогда нормальный пучок к нему (или эквивалентно нормальный конус к нему) будет

Геометрия этого нормального конуса

Геометрия нормального конуса может быть дополнительно исследована, взглянув на волокна для различных закрытых точек. Обратите внимание, что геометрически это союз плоскости с осью, поэтому точки интереса - это гладкие точки на плоскости, гладкие точки на оси и точка на их пересечении. Любая гладкая точка на плоскости дается картой для и или или Поскольку это произвольная точка, которую мы берем, для удобства давайте предположим, что волокно в точке изоморфно, чтобы дать нормальный конус в виде одномерной линии, как ожидалось. Для точки на оси это дано картой, следовательно, волокно в точке дает плоскость. На начале нормальный конус над этой точкой опять изморфен к .

Нодальный кубик

Для узловой кубической кривой, данной многочленом над , и точки в узле, конус имеет изоморфизм, показывающий, что нормальный конус имеет больше компонентов, чем схема, над которой он лежит.

Деформация нормального конуса

Предположим, это встраивание. Это можно деформировать в встраивание внутри нормального конуса (как нулевой секции) в следующем смысле: to - это куча коэффициентов , которая является кучей торов fppf на конкретную интерпретацию этого куча коэффициентов можно дать , взглянув на его поведение локально в этале топоса кучи .

Свойства внутренней нормальной пучки

Более конкретно, предположим, что есть эталевый морфизм из афиновой конечной схемы типа вместе с локально закрытым погружением в гладкую афиновую конечную схему типа. Тогда можно показать значение, мы можем понять внутренний нормальный пучок как сложное воплощение для неудачи нормальной последовательности быть точным на правой стороне. Более того, для специальных случаев, обсуждаемых ниже, мы теперь рассматриваем коэффициент как продолжение предыдущей последовательности в виде треугольника в какой-то триангулированной категории. Это связано с тем, что местный коэффициент стека может быть истолкован как в некоторых случаях.

Нормальный конус

Внутренний нормальный конус к , обозначается как , затем определяется заменой нормального пучка нормальным конусом; т. е. Пример: Один из них имеет то, что является локальным полным пересечением, если и только если В частности, если гладкий, то классифицирующий стек касательного пучка , который является коммутативной групповой схемой более общего, давайте представьте морфизм типа Делинья Мамфорда (типа DM) Artin Stacks, который локально конечного типа. Then характеризуется как закрытая подставка, такая, что для любой этальной карты, для которой есть кое-какие гладкие факторы (например, ), обратный откат: