Введение
Теория поля скалярных полей В теоретической физике теория поля скалярных полей может относиться к релятивистски инвариантной классической или квантовой теории поля скалярных полей. Скалярное поле инвариантно при любом преобразовании Лоренца. Единственное фундаментальное скалярное квантовое поле, которое наблюдалось в природе, - это поле Хиггса. Однако скалярные квантовые поля имеют место в эффективных описаниях теории поля многих физических явлений. Примером является пион, который на самом деле является псевдоскалярным. Поскольку они не связаны с поляризационными осложнениями, скалярные поля часто легче всего оценить вторую квантование. По этой причине теории скалярных полей часто используются для внедрения новых концепций и методов. Подпись метрики, используемой ниже, - (+, −, −, −).
In theoretical physics, scalar field theory can refer to a relativistically invariant classical or quantum theory of scalar fields. A scalar field is invariant under any Lorentz transformation. The only fundamental scalar quantum field that has been observed in nature is the Higgs field. However, scalar quantum fields feature in the effective field theory descriptions of many physical phenomena. An example is the pion, which is actually a pseudoscalar. Since they do not involve polarization complications, scalar fields are often the easiest to appreciate second quantization through. For this reason, scalar field theories are often used for purposes of introduction of novel concepts and techniques. The signature of the metric employed below is (+, −, −, −).
Классическая скалярная теория поля
Общая справка для этого раздела приведена в работе Рамонда, Пьера (2001 12 21). Теория поля: современный справочник (второе издание). США: Westview Press. , Глава 1.
Линейная (свободная) теория
Самая основная теория скалярного поля - линейная теория. Через расщепление полей по Фурье она представляет нормальные режимы бесконечности связанных осцилляторов, где предел континуума индекса осциллятора i теперь обозначается х. Действие для свободной релятивистской скалярной теории поля тогда где известно как плотность Лагранжа; d ^ 4−1) x dx ⋅ dy ⋅ dz dx ^ 1) ⋅ dx ^ 2) ⋅ dx ^ 3) для трех пространственных координат; δ ^ ^ ^ ij) является дельта-функцией Кронекера; и для ρ-й координаты x ^ ^ ^ ^ ρ . Это пример квадратного действия, так как каждый из членов является квадратным в поле, φ. Термин пропорциональный m ^ 2 иногда называют термином массы, из-за его последующей интерпретации в квантовой версии этой теории с точки зрения массы частицы. Уравнение движения для этой теории получается путем экстремизации действия выше. Она имеет следующую форму, линейную в φ, где 2 является оператором Лапласа. Это уравнение Кляйна Гордона, с интерпретацией как классическое уравнение поля, а не как квантово-механическое волновое уравнение.
where is known as a Lagrangian density; d^(4−1)x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx^(1) ⋅ dx^(2) ⋅ dx^(3) for the three spatial coordinates; δ^(ij) is the Kronecker delta function; and for the ρ th coordinate x^(ρ). This is an example of a quadratic action, since each of the terms is quadratic in the field, φ. The term proportional to m^(2) is sometimes known as a mass term, due to its subsequent interpretation, in the quantized version of this theory, in terms of particle mass. The equation of motion for this theory is obtained by extremizing the action above. It takes the following form, linear in φ,
where ∇2 is the Laplace operator. This is the Klein–Gordon equation, with the interpretation as a classical field equation, rather than as a quantum mechanical wave equation.
Размерный анализ и масштабирование
Физические величины в этих скалярных теориях поля могут иметь измерения длины, времени или массы, или некоторую комбинацию из трех. Однако в релятивистской теории любая величина t, с измерениями времени, может быть легко преобразована в длину , используя скорость света, c. Аналогичным образом, любая длина l эквивалентна обратной массе , используя постоянную Планка, ħ. В натуральных единицах время рассматривается как длина, или время или длина как обратная масса. Короче говоря, можно думать о измерениях любой физической величины, как определено в терминах только одного независимого измерения, а не в терминах всех трех. Это чаще всего называют массовым измерением величины. Знание размеров каждой величины позволяет уникально восстановить обычные размеры из выражения натуральных единиц с точки зрения этого массового измерения, просто вставляя необходимые значения ħ и c, необходимые для измерения последовательности. Одно из возможных возражений заключается в том, что эта теория является классической, и поэтому не очевидно, как постоянная Планка должна быть частью теории вообще. Если бы это было желательно, можно было бы действительно переформулировать теорию без массовых измерений вообще: однако это было бы за счет слегка затуманивания связи с квантовым скалярным полем. Учитывая, что у человека есть измерения массы, постоянная Планка здесь рассматривается как по существу произвольная фиксированная эталонная величина действия (не обязательно связанная с квантованием), следовательно, с измерениями, подходящими для преобразования между массой и обратной длиной.
Инвариантность шкалы
Существует определенный смысл, в котором некоторые теории скалярных полей являются инвариантами масштаба. Хотя все вышеперечисленные действия построены так, чтобы иметь нулевое массовое измерение, не все действия являются инвариантными при масштабируемом преобразовании Причина, по которой не все действия являются инвариантными, заключается в том, что обычно мы думаем о параметрах m и gn как о фиксированных величинах, которые не масштабируются при преобразовании выше. Условие для скалярной теории поля, чтобы быть инвариантом масштаба, довольно очевидно: все параметры, появляющиеся в действии, должны быть безразмерными величинами. Другими словами, теория, не изменяющаяся в масштабе, - это теория, в которой нет никакого фиксированного масштаба длины (или, эквивалентно, масштаба массы) в теории. Для скалярной теории поля с D пространственно-временными измерениями единственный безразмерный параметр gn удовлетворяет n = Например, в D = 4 только g4 классически безразмерен, и поэтому единственной классически инвариантной скалярной теорией поля в D = 4 является теория безмассы φ4. Однако классическая инвариантность масштаба обычно не подразумевает инвариантность квантового масштаба из-за группы ренормализации, участвующей в обсуждении бета-функции ниже.
The reason that not all actions are invariant is that one usually thinks of the parameters m and gn as fixed quantities, which are not rescaled under the transformation above. The condition for a scalar field theory to be scale invariant is then quite obvious: all of the parameters appearing in the action should be dimensionless quantities. In other words, a scale invariant theory is one without any fixed length scale (or equivalently, mass scale) in the theory. For a scalar field theory with D spacetime dimensions, the only dimensionless parameter gn satisfies n = For example, in D = 4, only g4 is classically dimensionless, and so the only classically scale invariant scalar field theory in D = 4 is the massless φ4 theory. Classical scale invariance, however, normally does not imply quantum scale invariance, because of the renormalization group involved – see the discussion of the beta function below.
Растворы для деформации
Теория φ4 с отрицательным м2 также имеет решение, которое является каноническим примером солитона. Такое решение имеет форму, где x является одной из пространственных переменных (φ принимается как независимая от t и остальных пространственных переменных). Раствор интерполируется между двумя различными вакуумами двойного потенциала скважины. Невозможно деформировать изгиб в постоянный раствор без прохождения через раствор бесконечной энергии, и по этой причине изгиб считается стабильным. Для D>2 (т. е. теорий с более чем одним пространственным измерением) это решение называется доменной стеной. Еще одним хорошо известным примером скалярной теории поля с решениями изгибов является теория синуса Гордона.
where x is one of the spatial variables (φ is taken to be independent of t, and the remaining spatial variables). The solution interpolates between the two different vacua of the double well potential. It is not possible to deform the kink into a constant solution without passing through a solution of infinite energy, and for this reason the kink is said to be stable. For D>2 (i. e., theories with more than one spatial dimension), this solution is called a domain wall. Another well known example of a scalar field theory with kink solutions is the sine Gordon theory.
Комплексная скалярная теория поля
В сложной скалярной теории поля скалярное поле принимает значения в сложных числах, а не в действительных числах. Сложное скалярное поле представляет собой частицы спина 0 и античастицы с зарядом. Рассматриваемое действие обычно принимает форму Это имеет U(1), эквивалентно O(2) симметрию, действие которой на пространство полей вращается , для некоторого реального фазового угла α. Что касается реального скалярного поля, то спонтанное нарушение симметрии обнаруживается, если m2 отрицательно. Это приводит к потенциалу мексиканской шляпы Голдстоуна, который представляет собой вращение двойного потенциала реального скалярного поля через 2π радианов вокруг оси V. Нарушение симметрии происходит в одном более высоком измерении, т.е. выбор вакуума нарушает непрерывную симметрию U{\displaystyle U} вместо дискретной. Два компонента скалярного поля переконфигурированы как массивный режим и безмассовый бозон Голдстоуна.
This has a U(1), equivalently O(2) symmetry, whose action on the space of fields rotates , for some real phase angle α. As for the real scalar field, spontaneous symmetry breaking is found if m2 is negative. This gives rise to Goldstone's Mexican hat potential which is a rotation of the double well potential of a real scalar field through 2π radians about the V axis. The symmetry breaking takes place in one higher dimension, i. e., the choice of vacuum breaks a continuous U(1) symmetry instead of a discrete one. The two components of the scalar field are reconfigured as a massive mode and a massless Goldstone boson.
О (Н) теория
Можно выразить сложную скалярную теорию поля в терминах двух реальных полей, φ1 = Re φ и φ2 = Im φ, которые преобразуются в векторное представление внутренней симметрии U(1) = O(2). Хотя такие поля трансформируются как вектор под внутренней симметрией, они все еще являются скалярами Лоренца. Это можно обобщить в теории N скалярных полей, преобразующихся в векторное представление O ((N) симметрии. Лагранжская теория для инвариантной скалярной теории поля О (n) обычно имеет форму, использующую соответствующий инвариантный внутренний продукт O (n). Теория также может быть выражена для сложных векторных полей, т. е. для , в этом случае группой симметрии является группа Лей SU ((N).
using an appropriate O(N) invariant inner product. The theory can also be expressed for complex vector fields, i. e. for , in which case the symmetry group is the Lie group SU(N).
Ключи для габаритного поля
Когда теория скалярного поля соединена с действием Янга-Милла в инвариантном виде, получается теория сверхпроводников Гинцбурга-Ландау. Топологические солитоны этой теории соответствуют вихрям в сверхпроводнике; минимум потенциала мексиканской шляпы соответствует параметру порядка сверхпроводника.