Введение
Мартингейловое ценообразование - это подход к ценообразованию, основанный на понятиях мартингейла и нейтральности риска. Мартингейловый подход к ценообразованию является краеугольным камнем современного количественного финансирования и может применяться к различным контрактам на производные инструменты, например опционы, фьючерсы, процентные деривативы, кредитные деривативы и т.д. В отличие от подхода к ценообразованию PDE, формулы ценообразования мартингейла имеют форму ожиданий, которые могут быть эффективно решены численно с использованием подхода Монте-Карло. Таким образом, мартингейловое ценообразование предпочтительнее при оценке контрактов с большим объемом, таких как корзина опционов. С другой стороны, оценка контрактов американского стиля является проблематичной и требует дискретизации проблемы (сделав ее похожей на бермудский вариант), и только в 2001 году Ф. А. Лонгстафф и Э. С. Шварц разработали практический метод Монте-Карло для ценообразования американских опционов.
Представление теории измерений
Предположим, что состояние рынка может быть представлено фильтрованным пространством вероятности. Пусть будет стохастический процесс цены на этом пространстве. Можно оценить производные ценные бумаги, согласно философии отсутствия арбитража, как: где есть нейтральная мера риска. является измеримым (безрисковым, возможно, стохастическим) процессом повышения процентных ставок. Это достигается с помощью почти уверенной репликации во времени выплат дериватива с использованием только базовых ценных бумаг и свободного от риска денежного рынка (MMA). Эти базовые цены имеют наблюдаемые и известные цены. В частности, создается процесс портфеля в непрерывном времени, где он владеет акциями базовой акции в каждый момент времени, и наличные деньги зарабатывают безрисковую ставку. Портфель подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению. Затем мы попытаемся применить теорему Гирсанова первым вычислением, то есть производную РадонаНикодима относительно наблюдаемого распределения вероятности рынка. Это гарантирует, что процесс дисконтированного репликации портфеля является мартингейлом при условиях нейтрального риска. Если такой процесс может быть хорошо определен и построен, то выбор приведет к , что сразу же подразумевает, что это почти наверняка произойдет, поскольку две меры эквивалентны.
Where is the risk neutral measure. is an measurable (risk free, possibly stochastic) interest rate process. This is accomplished through almost sure replication of the derivative's time payoff using only underlying securities, and the risk free money market (MMA). These underlyings have prices that are observable and known. Specifically, one constructs a portfolio process in continuous time, where he holds shares of the underlying stock at each time , and cash earning the risk free rate The portfolio obeys the stochastic differential equation
One will then attempt to apply Girsanov theorem by first computing ; that is, the Radon–Nikodym derivative with respect to the observed market probability distribution. This ensures that the discounted replicating portfolio process is a Martingale under risk neutral conditions. If such a process can be well defined and constructed, then choosing will result in , which immediately implies that this happens almost surely as well, since the two measures are equivalent.