Введение
Линейная комбинация индикаторных функций вещественных интервалов – кусочно-постоянная функция.
a piecewise constant function
В математике функция на вещественных числах называется ступенчатой функцией, если она может быть записана в виде конечной линейной комбинации индикаторных функций интервалов. Неформально говоря, ступенчатая функция – это кусочно-постоянная функция, имеющая лишь конечное число частей.
Варианты определения
Иногда требуется, чтобы интервалы были полуоткрытыми справа или допускали вырождение в точку. Требование конечности множества интервалов часто опускается, особенно в школьной математике, хотя оно всё равно должно выполняться локально, что приводит к определению кусочно-постоянных функций.
Примеры
Постоянная функция является тривиальным примером ступенчатой функции. В этом случае существует только один интервал. Функция знака sgn(x), равная −1 для отрицательных чисел и +1 для положительных, является простейшей неконстантной ступенчатой функцией. Функция Хевисайда H(x), равная 0 для отрицательных чисел и 1 для положительных, эквивалентна функции знака с точностью до сдвига и масштабирования диапазона значений. Она представляет собой математическую основу для некоторых тестовых сигналов, например, тех, что используются для определения переходной характеристики динамической системы. Прямоугольная функция, или нормализованная функция окна, используется для моделирования единичного импульса.
The sign function sgn(x), which is −1 for negative numbers and +1 for positive numbers, and is the simplest non constant step function. The Heaviside function H(x), which is 0 for negative numbers and 1 for positive numbers, is equivalent to the sign function, up to a shift and scale of range It is the mathematical concept behind some test signals, such as those used to determine the step response of a dynamical system. The rectangular function, the normalized boxcar function, is used to model a unit pulse.
Непримеры
Целая часть функции не является ступенчатой функцией в соответствии с определением, данным в этой статье, поскольку она имеет бесконечное число интервалов. Однако некоторые авторы также определяют ступенчатые функции с бесконечным числом интервалов. Дискретная случайная величина иногда определяется как случайная величина, функция распределения которой кусочно-постоянна. В этом случае она локально является ступенчатой функцией (в глобальном смысле она может иметь бесконечное число скачков). Обычно же любой случайной величиной с лишь счетным множеством возможных значений называют дискретную случайную величину, и в этом случае их функция распределения не обязательно является локально ступенчатой, так как бесконечное число интервалов может скапливаться в конечной области.