Геометрия сферы: основы и особенности

Введение

Геометрия поверхности сферы

Сферическая геометрия или сферика — это геометрия двухмерной поверхности сферы или n-мерной поверхности сфер в пространствах более высоких измерений. Сферическая геометрия и метрические инструменты сферической тригонометрии, долгое время изучаемые из-за их практического применения в астрономии, навигации и геодезии, во многих отношениях аналогичны евклидовой геометрии и тригонометрии, но также имеют некоторые важные отличия. Сферу можно изучать как внешне, как поверхность, вложенную в трехмерное евклидово пространство (что является частью изучения объёмной геометрии), так и внутренне, используя методы, которые оперируют только самой поверхностью, без обращения к окружающему пространству.

Принципы

В плоской (евклидовой) геометрии основными понятиями являются точки и (прямые) линии. В сферической геометрии основными понятиями являются точка и большой круг. Однако два больших круга на сфере пересекаются в двух антиподальных точках, в отличие от компланарных линий в эллиптической геометрии. В внешней трехмерной интерпретации, большой круг – это пересечение сферы с любой плоскостью, проходящей через её центр. В внутреннем подходе, большой круг является геодезической – кратчайшим путем между любыми двумя его точками, при условии их достаточно близкого расположения. Или, в (также внутреннем) аксиоматическом подходе, аналогичном аксиомам Евклида о плоской геометрии, "большой круг" – это просто неопределенный термин, наряду с постулатами, определяющими основные отношения между большими кругами и также неопределенными "точками". Это аналогично методу Евклида, рассматривающего точку и линию как неопределенные первоначальные понятия и аксиоматизирующего их взаимосвязи. Большие круги во многом играют ту же логическую роль в сферической геометрии, что и линии в евклидовой геометрии, например, в качестве сторон (сферических) треугольников. Это не просто аналогия; сферическая и плоская геометрии, а также другие, могут быть объединены в рамках геометрии, основанной на измерении расстояний, где "линии" определяются как кратчайшие пути (геодезические). Многие утверждения о геометрии точек и таких "линий" одинаково верны во всех этих геометриях, при условии, что линии определены таким образом, и теория может быть легко расширена на более высокие размерности. Тем не менее, поскольку её приложения и преподавание связаны с объёмной геометрией, и поскольку обобщение теряет некоторые важные свойства линий на плоскости, сферическая геометрия обычно вообще не использует термин "линия" для обозначения чего-либо на самой сфере. Если она разрабатывается как часть объёмной геометрии, используются точки, прямые линии и плоскости (в евклидовом смысле) в окружающем пространстве. В сферической геометрии углы определяются между большими кругами, что приводит к сферической тригонометрии, которая во многих отношениях отличается от обычной тригонометрии; например, сумма внутренних углов сферического треугольника превышает 180 градусов.

In plane (Euclidean) geometry, the basic concepts are points and (straight) lines. In spherical geometry, the basic concepts are point and great circle. However, two great circles on a plane intersect in two antipodal points, unlike coplanar lines in Elliptic geometry. In the extrinsic 3 dimensional picture, a great circle is the intersection of the sphere with any plane through the center. In the intrinsic approach, a great circle is a geodesic; a shortest path between any two of its points provided they are close enough. Or, in the (also intrinsic) axiomatic approach analogous to Euclid's axioms of plane geometry, "great circle" is simply an undefined term, together with postulates stipulating the basic relationships between great circles and the also undefined "points". This is the same as Euclid's method of treating point and line as undefined primitive notions and axiomatizing their relationships. Great circles in many ways play the same logical role in spherical geometry as lines in Euclidean geometry, e. g., as the sides of (spherical) triangles. This is more than an analogy; spherical and plane geometry and others can all be unified under the umbrella of geometry built from distance measurement, where "lines" are defined to mean shortest paths (geodesics). Many statements about the geometry of points and such "lines" are equally true in all those geometries provided lines are defined that way, and the theory can be readily extended to higher dimensions. Nevertheless, because its applications and pedagogy are tied to solid geometry, and because the generalization loses some important properties of lines in the plane, spherical geometry ordinarily does not use the term "line" at all to refer to anything on the sphere itself. If developed as a part of solid geometry, use is made of points, straight lines and planes (in the Euclidean sense) in the surrounding space. In spherical geometry, angles are defined between great circles, resulting in a spherical trigonometry that differs from ordinary trigonometry in many respects; for example, the sum of the interior angles of a spherical triangle exceeds 180 degrees.

Отношение к аналогичным геометриям

Поскольку сфера и плоскость геометрически различны, (внутренняя) сферическая геометрия обладает некоторыми чертами неевклидовой геометрии и иногда рассматривается как одна из них. Однако сферическая геометрия не считалась полноценной неевклидовой геометрией, достаточной для разрешения древней проблемы о том, является ли постулат о параллельных логическим следствием остальных аксиом Евклида о плоской геометрии, поскольку для этого требовалось изменить другую аксиому. Решение было найдено в эллиптической геометрии, с которой сферическая геометрия тесно связана, и в гиперболической геометрии; каждая из этих новых геометрий вносит иное изменение в постулат о параллельных. Принципы любой из этих геометрий могут быть распространены на любое число измерений. Важной геометрией, связанной с геометрией сферы, является геометрия вещественной проективной плоскости; она получается путем отождествления антиподальных точек (пар противоположных точек) на сфере. Локально проективная плоскость обладает всеми свойствами сферической геометрии, но имеет иные глобальные свойства. В частности, она не ориентируема, или односторонняя, и, в отличие от сферы, не может быть изображена как поверхность в трехмерном пространстве без самопересечений. Концепции сферической геометрии также могут быть применены к вытянутой сфере, хотя в некоторых формулах необходимо внести незначительные изменения.

Греческая античность

Самым ранним математическим трудом древности, дошедшим до нашего времени, является трактат «О вращающейся сфере» (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas) Автолика Питанского, жившего в конце IV века до н.э. Сферическая тригонометрия изучалась ранними греческими математиками, такими как Феодосий Битинский, греческий астроном и математик, написавший книгу «Сферики», посвященную геометрии сферы, и Менелай Александрийский, который написал книгу о сферической тригонометрии под названием «Сферика» и разработал теорему Менелая.

Исламский мир

Книга "Неизвестные дуги сферы", написанная исламским математиком Аль-Джаяни, считается первым трактатом по сферической тригонометрии. В книге содержатся формулы для прямоугольных треугольников, общий закон синусов и решение сферического треугольника посредством полярного треугольника. Книга "О треугольниках" Региомонтана, написанная около 1463 года, является первой самостоятельной тригонометрической работой в Европе. Однако спустя столетие Джероламо Кардано отметил, что значительная часть его материала по сферической тригонометрии была заимствована из работы андалузского ученого Джабира ибн Афлаха, созданной в XII веке.

Отношение к постулатам Евклида

Если понимать под "линией" большой круг, то сферическая геометрия подчиняется лишь двум из пяти постулатов Евклида: второму постулату ("продолжать [продлевать] конечную прямую линию непрерывно по прямой") и четвертому постулату ("что все прямые углы равны друг другу"). Однако она нарушает остальные три. В отличие от первого постулата ("что между любыми двумя точками существует единственный отрезок прямой, соединяющий их"), между любыми двумя точками не существует единственного кратчайшего пути (антиподальные точки, такие как северный и южный полюсы на сфере, служат контрпримером); в отличие от третьего постулата, сфера не содержит окружностей произвольно большого радиуса; и в отличие от пятого (параллельного) постулата, нет точки, через которую можно провести прямую, не пересекающую данную прямую. Утверждение, эквивалентное постулату о параллельных прямых, состоит в том, что существует треугольник, сумма углов которого равна 180°. Поскольку сферическая геометрия нарушает постулат о параллельных прямых, такого треугольника на поверхности сферы не существует. Сумма углов треугольника на сфере равна 180°(1 + 4f), где f – доля поверхности сферы, заключенная внутри треугольника. При любом положительном значении f эта сумма превышает 180°.