Введение
Расширение Галуа, группа Галуа которого абелева. В абстрактной алгебре, абелево расширение — это расширение Галуа, группа Галуа которого абелева. Если группа Галуа также циклична, то расширение называется циклическим расширением. В обратном направлении, расширение Галуа называется разрешимым, если его группа Галуа разрешима, то есть если группу можно разложить на ряд нормальных расширений с абелевыми группами. Любое конечное расширение конечного поля является циклическим расширением.
In abstract algebra, an abelian extension is a Galois extension whose Galois group is abelian. When the Galois group is also cyclic, the extension is also called a cyclic extension. Going in the other direction, a Galois extension is called solvable if its Galois group is solvable, i. e., if the group can be decomposed into a series of normal extensions of an abelian group. Every finite extension of a finite field is a cyclic extension.
Описание
Теория полей классов предоставляет подробную информацию об абелевых расширениях числовых полей, полях функций алгебраических кривых над конечными полями и локальных полях. Существует два несколько различных определения термина "циклотомическое расширение". Оно может означать либо расширение, полученное присоединением корней из единицы к полю, либо подрасширение такого расширения. Циклотомические поля являются примерами. Циклотомическое расширение, при любом из определений, всегда абелево. Если поле K содержит первообразный корень n-й степени из единицы и к K присоединяется корень n-й степени из элемента K, то полученное расширение Куммера является абелевым расширением (если K имеет характеристику p, следует отметить, что p не делит n, поскольку в противном случае это может даже не быть разделимым расширением). Однако, в общем случае, группы Галуа n-х корней элементов действуют как на n-х корнях, так и на корнях из единицы, образуя неабелеву группу Галуа в виде полупрямого произведения. Теория Куммера дает полное описание абелевых расширений, а теорема Кронекера — Вебера утверждает, что если K — поле рациональных чисел, то расширение является абелевым тогда и только тогда, когда оно является подполем поля, полученного присоединением корня из единицы. Существует важная аналогия с фундаментальной группой в топологии, которая классифицирует все накрывающие пространства пространства: абелевы накрытия классифицируются ее абелевизацией, которая напрямую связана с первой группой гомологий.