Введение

Спираль, асимптотически приближающаяся к прямой

Гиперболическая спираль – это тип спирали, угол наклона которой увеличивается с расстоянием от центра, в отличие от постоянного угла наклона логарифмических спиралей или уменьшающегося угла наклона спиралей Архимеда. По мере расширения кривая приближается к асимптотической прямой. Её можно наблюдать при взгляде вверх по спиральной лестнице, а также в начальной расстановке участников некоторых забегов. Она используется для моделирования спиральных галактик и архитектурных волют. Как плоская кривая, гиперболическая спираль может быть описана в полярных координатах уравнением

для произвольного выбора масштабного коэффициента. Из-за обратной зависимости между и , она также называется обратной спиралью. Такое же соотношение между декартовыми координатами описывает гиперболу, и гиперболическая спираль была впервые обнаружена путем применения уравнения гиперболы к полярным координатам. Гиперболические спирали также могут быть получены как обратные кривые спиралей Архимеда или как центральные проекции спиралей (геликоидов). Гиперболические спирали являются узорами в евклидовой плоскости и не должны смешиваться с другими типами спиралей, построенными в гиперболической плоскости. В случаях, когда название этих спиралей может быть неоднозначным, вместо этого можно использовать их альтернативное название – обратные спирали.

История и применение

Пьер Вариньон впервые изучил гиперболическую спираль в 1704 году как пример полярной кривой, полученной из другой кривой (в данном случае гиперболы) путем переинтерпретации декартовых координат точек на данной кривой как полярных координат точек на полярной кривой. Вариньон, а позднее Джеймс Клерк Максвелл, интересовались рулетками, получаемыми при прослеживании точки на этой кривой, когда она катится вдоль другой кривой; например, когда гиперболическая спираль катится по прямой линии, её центр описывает трактрису. Иоганн Бернулли и Роджер Котес также писали об этой кривой в связи с открытием Исаака Ньютона о том, что тела, движущиеся по траекториям конических сечений, должны подчиняться закону обратных квадратов, такому как закон всемирного тяготения Ньютона. Ньютон утверждал, что обратное также верно: конические сечения — единственно возможные траектории при действии закона обратных квадратов. Бернулли критиковал этот вывод, отметив, что в случае закона обратных кубов возможно несколько траекторий, включая логарифмическую спираль (связь которой с законом обратных кубов уже была замечена Ньютоном) и гиперболическую спираль. Котес обнаружил семейство спиралей, спирали Котеса, включающее логарифмические и гиперболические спирали, для которых требуется закон обратных кубов. К 1720 году Ньютон разрешил спор, доказав, что законы обратных квадратов всегда приводят к траекториям конических сечений. Для гиперболической спирали с уравнением , круговая дуга, центр которой находится в начале координат и продолжающаяся по часовой стрелке на длину от любой её точки, завершится в точке . Благодаря этому свойству равной длины, стартовые отметки забегов на 200 м и 400 м располагаются со смещением вдоль гиперболической спирали. Это гарантирует, что бегуны, ограниченные своими концентрическими дорожками, имеют одинаковую длину пути до финишной линии. Для более длинных забегов, где бегуны переходят на внутреннюю дорожку после старта, используется другая спираль (инволюта окружности). Увеличение угла наклона гиперболической спирали в зависимости от расстояния от её центра привело к использованию этих спиралей для моделирования формы некоторых спиральных галактик, которые в некоторых случаях имеют аналогичный увеличивающийся угол наклона. Однако эта модель не обеспечивает хорошего соответствия форме всех спиральных галактик. В архитектуре предполагается, что гиперболические спирали хорошо подходят для проектирования волют колонн коринфского ордера. Она также описывает перспективный вид вдоль оси спиральной лестницы или другой спиральной конструкции. Наряду с архимедовой и логарифмической спиралями, гиперболическая спираль использовалась в психологических экспериментах по восприятию вращения.

Инверсия

Инверсия круга относительно единичной окружности — это преобразование плоскости, которое в полярных координатах отображает точку (исключая начало координат) в и наоборот. Образ архимедовой спирали при этом преобразовании (её обратная кривая) является гиперболической спиралью с

Угол наклона

Из векторного исчисления в полярных координатах выводится формула для угла тангирования между касательной к любой кривой и касательной к её соответствующей полярной окружности. Для гиперболической спирали угол тангирования равен