Введение
Шестигранник с параллелограммами в качестве граней
ПараллелепипедТипПризмаПлезиоэдрГраней6 параллелограммовРёбер12Вершин8Группа симметрииCi, [2+,2+], (×), порядок 2Свойствавыпуклый, зоноэдр
ParallelepipedTypePrismPlesiohedronFaces6 parallelogramsEdges12Vertices8Symmetry groupCi, [2+,2+], (×), order 2Propertiesconvex, zonohedron
В геометрии параллелепипед — это трёхмерная фигура, образованная шестью параллелограммами (термин ромбоид также иногда используется в этом значении). По аналогии, он относится к параллелограмму так же, как куб относится к квадрату. Три эквивалентных определения параллелепипеда: шестигранник с тремя парами параллельных граней, многогранник с шестью гранями (шестигранник), каждая из которых является параллелограммом, и призма, основанием которой является параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед (шесть прямоугольных граней), куб (шесть квадратных граней) и ромбоэдр (шесть ромбических граней) — все это частные случаи параллелепипеда. Произношение "параллелепипед" обычно /pærəˈlɛlɪˌpɪpɪd/ или /pærəˈlɛlɪˌpaɪpɪd/; традиционно произносилось /pærəˈlɛlɛpɪpɛd/ PARRəlelEPihped, несмотря на его этимологию в греческом παραλληλεπίπεδον parallelepipedon, что означает тело "с параллельными плоскостями". Параллелепипеды являются подклассом призматических тел.
a hexahedron with three pairs of parallel faces,
a polyhedron with six faces (hexahedron), each of which is a parallelogram, and
a prism of which the base is a parallelogram. The rectangular cuboid (six rectangular faces), cube (six square faces), and the rhombohedron (six rhombus faces) are all specific cases of parallelepiped. "Parallelepiped" is now usually pronounced ,/p//ær//ə/,/l//ɛ//l//ɪ/'/p//ɪ//p//ɪ//d/ or ,/p//ær//ə/,/l//ɛ//l//ɪ/'/p//aɪ//p//ɪ//d/; traditionally it was ,/p//ær//ə//l//ɛ//l/'/ɛ//p//ɪ//p//ɛ//d/ PARRəlelEPihped despite its etymology in Greek παραλληλεπίπεδον parallelepipedon, a body "having parallel planes". Parallelepipeds are a subclass of the prismatoids.
Свойства
Любую из трех пар параллельных граней можно рассматривать как плоскость основания призмы. Параллелепипед имеет три набора по четыре параллельных ребра; ребра в каждом наборе имеют одинаковую длину. Параллелепипеды получаются в результате линейных преобразований куба (для невырожденных случаев: биективные линейные преобразования). Поскольку каждая грань обладает центральной симметрией, параллелепипед является зоноэдром. Весь параллелепипед также обладает центральной симметрией Ci (см. также триклинический). Каждая грань, если смотреть снаружи, является зеркальным отражением противоположной грани. Сами грани в общем случае хиральны, но параллелепипед как целое – нет. Пространственное заполнение тесселяцией возможно с использованием конгруэнтных копий любого параллелепипеда.
Совершенно параллелепипидный
Идеальный параллелепипед — это параллелепипед с целочисленными длинами рёбер, диагоналями граней и пространственными диагоналями. В 2009 году было показано существование десятков идеальных параллелепипедов, что разрешило открытый вопрос Ричарда Гая. Один из примеров имеет рёбра 271, 106 и 103, малые диагонали граней 101, 266 и 255, большие диагонали граней 183, 312 и 323, а пространственные диагонали равны 374, 300, 278 и 272. Известны некоторые идеальные параллелепипеды, имеющие две прямоугольные грани. Однако неизвестно, существуют ли параллелепипеды, у которых все грани прямоугольные; такой случай называют идеальным кубоидом.
Этимология
Термин «параллелепипед» происходит от древнегреческого παραλληλεπίπεδον (parallēlepípedon, «тело с параллельными плоскими поверхностями»), образованного от слов «параллель» («параллельный») и «эпипедон» («плоская поверхность»), которое, в свою очередь, происходит от «эпи» («на») и «педон» («земля»). Таким образом, грани параллелепипеда плоские, а противоположные грани параллельны. В английском языке термин «параллелипипедон» впервые зафиксирован в переводе «Элементов» Евклида, выполненном Генри Биллингсли в 1570 году. Орфография «parallelepipedum» использовалась в издании 1644 года «Cursus mathematicus» Пьера Эригона. В 1663 году современная форма «параллелепипед» встречается в труде «Chorea gigantum» Уолтера Чарльтона. Словарь Чарльза Хаттона (1795) содержит варианты «parallelopiped» и «parallelopipedon», что свидетельствует о влиянии объединяющей формы «parallelo», как будто второй элемент – «пипедон», а не «эпипедон». Ной Вебстер (1806) включает в себя написание «parallelopiped». В 1989 году Оксфордский словарь английского языка определял «parallelopiped» (и «parallelipiped») как некорректные формы, однако в издании 2004 года они приводятся без каких-либо комментариев, и указываются только произношения с ударением на пятый слог «пи».