Введение
Локально выпуклое топологическое векторное пространство. В области математики, известной как функциональный анализ, рефлексивное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, для которого каноническое отображение оценки из пространства в его бидуальное пространство (которое является сильным дуалом сильного дуала исходного пространства) является гомеоморфизмом (или, эквивалентно, TVS-изоморфизмом). Нормированное пространство является рефлексивным тогда и только тогда, когда это каноническое отображение оценки сюръективно, в этом случае это (всегда линейное) отображение оценки является изометрическим изоморфизмом, а нормированное пространство — пространством Банаха. Пространства, для которых каноническое отображение оценки сюръективно, называются полурефлексивными пространствами. В 1951 году Р. С. Джеймс обнаружил пространство Банаха, ныне известное как пространство Джеймса, которое не является рефлексивным (то есть каноническое отображение оценки не является изоморфизмом), но тем не менее изометрически изоморфно своему бидуальному пространству (любой такой изометрический изоморфизм не обязательно является каноническим отображением оценки). Таким образом, для того чтобы пространство Банаха было рефлексивным, недостаточно, чтобы оно было изометрически изоморфно своему бидуальному пространству; необходимо, чтобы именно каноническое отображение оценки было гомеоморфизмом. Рефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклых TVS и, в частности, в теории пространств Банаха. Пространства Гильберта являются яркими примерами рефлексивных пространств Банаха. Рефлексивные пространства Банаха часто характеризуются своими геометрическими свойствами.
In the area of mathematics known as functional analysis, a reflexive space is a locally convex topological vector space for which the canonical evaluation map from into its bidual (which is the strong dual of the strong dual of ) is a homeomorphism (or equivalently, a TVS isomorphism). A normed space is reflexive if and only if this canonical evaluation map is surjective, in which case this (always linear) evaluation map is an isometric isomorphism and the normed space is a Banach space. Those spaces for which the canonical evaluation map is surjective are called semi reflexive spaces. In 1951, R. C. James discovered a Banach space, now known as James' space, that is not reflexive (meaning that the canonical evaluation map is not an isomorphism) but is nevertheless isometrically isomorphic to its bidual (any such isometric isomorphism is necessarily not the canonical evaluation map). So importantly, for a Banach space to be reflexive, it is not enough for it to be isometrically isomorphic to its bidual; it is the canonical evaluation map in particular that has to be a homeomorphism. Reflexive spaces play an important role in the general theory of locally convex TVSs and in the theory of Banach spaces in particular. Hilbert spaces are prominent examples of reflexive Banach spaces. Reflexive Banach spaces are often characterized by their geometric properties.
Контрпримеры
Существует нерефлексивное локально выпуклое векторное топологическое пространство, сильный двойственный которого рефлексивен.
Общие ссылки
Да. — Да. — Да. — Да.
.