Введение
В геометрии неправильное вращение (также называемое вращательным отражением, роторефлексией или ротоинверсией) — это изометрия в евклидовом пространстве, представляющая собой комбинацию вращения вокруг оси и отражения в плоскости, перпендикулярной этой оси. Отражение и инверсия являются частными случаями неправильного вращения. Любое неправильное вращение является аффинным преобразованием и, в случаях, когда начало координат фиксировано, линейным преобразованием. Оно используется как операция симметрии в контексте геометрической симметрии, молекулярной симметрии и кристаллографии, где объект, не изменяющийся при комбинации вращения и отражения, обладает неправильной симметрией вращения. + Пример многогранников с роторефлексионной симметрией. Группа S4 S6 S8 S10 S12. Подгруппы C2 C3, S2 = Ci C4, C2 C5, S2 = Ci C6, S4, C3, C2. Пример: скошенный двугранный антипризма, треугольный антипризма, квадратный антипризма, пятигранный антипризма, шестигранный антипризма. Антипризмы с направленными ребрами обладают роторефлексионной симметрией. p-антипризмы для нечетных p содержат инверсионную симметрию Ci.
In geometry, an improper rotation (also called rotation reflection, rotoreflection, or rotoinversion) is an isometry in Euclidean space that is a combination of a rotation about an axis and a reflection in a plane perpendicular to that axis. Reflection and inversion are each special case of improper rotation. Any improper rotation is an affine transformation and, in cases that keep the coordinate origin fixed, a linear transformation. It is used as a symmetry operation in the context of geometric symmetry, molecular symmetry and crystallography, where an object that is unchanged by a combination of rotation and reflection is said to have improper rotation symmetry. + Example polyhedra with rotoreflection symmetryGroup S4 S6 S8 S10 S12Subgroups C2 C3, S2 = Ci C4, C2 C5, S2 = Ci C6, S4, C3, C2Examplebeveled digonal antiprism triangular antiprism square antiprism pentagonal antiprism hexagonal antiprism Antiprisms with directed edges have rotoreflection symmetry. p antiprisms for odd p contain inversion symmetry, Ci.
Подгруппы
Прямая подгруппа S2n — Cn, порядка n, индекс 2, получаемая применением генератора роторефлексии дважды. Для нечетного n, S2n содержит инверсию, обозначаемую Ci или S2. S2n является прямым произведением: S2n = Cn × S2, если n нечетно. Для любого n, если нечетное число p является делителем n, то S2n/p является подгруппой S2n, индекс p. Например, S4 является подгруппой S12, индекс 3.
В качестве косвенной изометрии
В более широком смысле, неправильное вращение может быть определено как любая косвенная изометрия, то есть элемент E(3) \ E+(3). Следовательно, оно также может представлять собой чистое отражение относительно плоскости или содержать плоскость скольжения. Косвенная изометрия – это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, имеющей определитель −1. Правильное вращение – это обычное вращение. В более широком смысле, правильное вращение определяется как прямая изометрия, то есть элемент E+(3). Оно также может быть тождественным преобразованием, вращением с трансляцией вдоль оси или чистой трансляцией. Прямая изометрия – это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, имеющей определитель 1. Как в узком, так и в широком смысле, композиция двух неправильных вращений является правильным вращением, а композиция неправильного и правильного вращений – неправильным вращением.
Физические системы
При изучении симметрии физической системы относительно несобственного вращения (например, если система обладает плоскостью зеркальной симметрии), важно различать векторы и псевдовекторы (а также скаляры и псевдоскаляры, и в целом тензоры и псевдотензоры), поскольку последние преобразуются по-разному при собственных и несобственных вращениях (в трёх измерениях псевдовекторы инвариантны относительно инверсии).