Введение

Геометрия чисел — это раздел теории чисел, использующий геометрические методы для изучения алгебраических чисел. Как правило, кольцо алгебраических целых рассматривается как решётка в и изучение этих решёток предоставляет фундаментальную информацию об алгебраических числах. Геометрия чисел была заложена и имеет тесную связь с другими областями математики, в особенности с функциональным анализом и диофантовым приближением, задачей поиска рациональных чисел, аппроксимирующих иррациональное число.

Поздние исследования в геометрии чисел

В 1930–1960 годах исследования в области геометрии чисел проводились многими теоретиками чисел, включая Луи Морделла, Гарольда Давенпорта и Карла Людвига Зигеля. В последние годы Ленстра, Брион и Барвинок разработали комбинаторные теории, позволяющие перечислять точки решетки в некоторых выпуклых телах.

Теорема подпространства В. М. Шмидта

В геометрии чисел теорема о подпространствах была получена Вольфгангом М. Шмидтом в 1972 году. Она утверждает, что если n — положительное целое число, а L1, …, Ln — линейно независимые линейные формы в n переменных с алгебраическими коэффициентами, и если ε > 0 — любое заданное вещественное число, то ненулевые целочисленные точки x в n координатах, удовлетворяющие условию

лежат в конечном числе собственных подпространств Qn.

Влияние на функциональный анализ

Геометрия чисел Минковского оказала глубокое влияние на функциональный анализ. Минковский доказал, что симметричные выпуклые тела порождают нормы в конечномерных векторных пространствах. Теорема Минковского была обобщена Колмогоровым на топологические векторные пространства, и его теорема утверждает, что симметричные выпуклые множества, являющиеся замкнутыми и ограниченными, порождают топологию пространства Банаха. Исследователи продолжают изучать обобщения на звездчатые и другие невыпуклые множества.