Введение

Понятие в алгебре: другие радикалы. В теории колец, являющейся разделом математики, радикалом идеала коммутативного кольца является другой идеал, определяемый тем свойством, что элемент принадлежит радикалу тогда и только тогда, когда некоторая степень этого элемента содержится в идеале. Операция взятия радикала идеала называется радикализацией. Радикальный идеал (или полупростой идеал) — это идеал, равный своему радикалу. Радикал первичного идеала является простым идеалом. Это понятие обобщается на некоммутативные кольца в статье о полупростых кольцах.

Примеры

Рассмотрим кольцо целых чисел. Радикал идеала, состоящего из целочисленных кратных числа равен . Радикал равен . Радикал равен . В общем случае, радикал равен , где – произведение всех различных простых делителей , являющегося наибольшим безквадратным делителем (см. Радикал целого числа). Фактически, это обобщается на произвольный идеал (см. раздел "Свойства"). Рассмотрим идеал . Легко показать (используя основное свойство, но мы приведем некоторые альтернативные методы): радикал соответствует нильрадикалу факторкольца , который является пересечением всех простых идеалов факторкольца. Этот нильрадикал содержится в радикале Джейкобсона, который является пересечением всех максимальных идеалов, являющихся ядрами гомоморфизмов в поля. Любой гомоморфизм колец должен содержать в своем ядре , чтобы гомоморфизм был корректно определен (например, если бы мы потребовали, чтобы ядром было , то композиция была бы , что эквивалентно попытке заставить ). Поскольку поле алгебраически замкнуто, каждый гомоморфизм должен проходить через , поэтому для вычисления радикала достаточно вычислить пересечение . В итоге получаем, что