Введение

одноименный математический журнал. Экспериментальная математика – это подход к математике, в котором вычисления используются для исследования математических объектов и выявления их свойств и закономерностей. Она определяется как "область математики, которая в конечном счете связана с кодификацией и передачей понимания внутри математического сообщества посредством экспериментального (в галилеевском, бэконовском, аристотелевском или кантовском смысле) исследования гипотез и менее формальных убеждений, а также тщательного анализа данных, полученных в ходе этого поиска". Как выразился Пол Халмос: "Математика – это не дедуктивная наука – это клише. Когда вы пытаетесь доказать теорему, вы не просто перечисляете предпосылки, а затем начинаете рассуждать. Вы действуете методом проб и ошибок, экспериментируете, строите предположения. Вы хотите выяснить, каковы факты, и в этом отношении ваши действия схожи с работой лаборанта."

История

Математики всегда практиковали экспериментальную математику. Сохранившиеся записи ранней математики, такие как вавилонская, как правило, состоят из списков числовых примеров, иллюстрирующих алгебраические тождества. Однако современная математика, начиная с XVII века, выработала традицию публикации результатов в окончательной, формальной и абстрактной форме. Численные примеры, которые могли подтолкнуть математика к первоначальной формулировке общей теоремы, не публиковались и, как правило, забывались. Экспериментальная математика как самостоятельная область исследований вновь возникла в XX веке, когда изобретение электронного компьютера значительно расширило диапазон осуществимых вычислений, обеспечив скорость и точность, намного превосходящие возможности предыдущих поколений математиков. Важным рубежом и достижением экспериментальной математики стало открытие в 1995 году формулы Бейли — Борвейна — Плуффа для двоичных цифр числа π. Эта формула была обнаружена не в результате формальных рассуждений, а посредством численного поиска на компьютере; строгое доказательство было найдено лишь впоследствии.

Инструменты и методы

Экспериментальная математика использует численные методы для вычисления приближенных значений интегралов и бесконечных рядов. Для установления этих значений с высокой степенью точности часто применяется арифметика произвольной точности – как правило, 100 или более значащих цифр. Затем алгоритмы поиска целочисленных соотношений используются для выявления связей между этими значениями и математическими константами. Работа с числами высокой точности снижает вероятность ошибочного принятия математического совпадения за истинное соотношение. После этого ищут формальное доказательство предполагаемой связи – как правило, найти такое доказательство проще, когда форма предполагаемой связи известна. Если требуется найти контрпример или провести масштабное доказательство перебором, для распределения вычислений между несколькими компьютерами могут быть использованы методы распределенных вычислений. Часто используется общее математическое программное обеспечение или специализированное программное обеспечение, разработанное для решения задач, требующих высокой производительности. Программное обеспечение для экспериментальной математики обычно включает механизмы обнаружения и исправления ошибок, проверки целостности данных и резервные вычисления, предназначенные для минимизации вероятности того, что результаты будут признаны недействительными из-за аппаратной или программной ошибки.

Примеры правдоподобные, но ложные

Некоторые правдоподобные соотношения обладают высокой степенью точности, но при этом не являются истинными. Один пример:

Две стороны этого выражения фактически различаются после 42-го десятичного знака. Другой пример заключается в том, что максимальная высота (максимальное абсолютное значение коэффициентов) всех делителей многочлена xⁿ − 1 оказывается равной высоте n-го циклотомического многочлена. Компьютерные проверки подтвердили это для n < 10000, и предполагалось, что это верно для всех n. Однако более масштабный компьютерный поиск показал, что это равенство не выполняется при n = 14235, когда высота n-го циклотомического многочлена равна 2, а максимальная высота делителей равна 3.