Введение
Архимедово тело
В геометрии усечённый октаэдр — это архимедово тело, которое получается из правильного октаэдра путём отсечения шести пирамид, по одной у каждой вершины октаэдра. Усечённый октаэдр имеет 14 граней (8 правильных шестиугольников и 6 квадратов), 36 рёбер и 24 вершины. Поскольку каждая его грань обладает точечной симметрией, усечённый октаэдр является 6-зоноэдром. Он также является полиэдром Гольдберга GIV(1,1), содержащим квадратные и шестиугольные грани. Как и куб, он может заполнять (или "упаковывать") трёхмерное пространство, являясь пермутоэдром. Усечённый октаэдр был назван "меконом" Бакминстером Фуллером. Его двойственный полиэдр — тетракисгексаэдр. Если исходный усечённый октаэдр имеет единичную длину ребра, то его двойственный тетракисгексаэдр имеет длины рёбер и .
Координаты
Ортогональная проекция в ограничивающем объеме (±2, ±2, ±2). Усеченный октаэдр с заменой гексагонов на 6 компланарных треугольников. Имеются 8 новых вершин в точках: (±1, ±1, ±1). Усеченный октаэдр подразделен на топологический ромбический триаконтаэдр. Все перестановки (0, ±1, ±2) являются декартовыми координатами вершин усеченного октаэдра с длиной ребра a = √2, центрированного в начале координат. Вершины таким образом также являются углами 12 прямоугольников, длинные стороны которых параллельны координатным осям. Векторы ребер имеют декартовы координаты (0, ±1, ±1) и их перестановки. Нормали граней (нормализованные векторные произведения ребер, имеющих общую вершину) 6 квадратных граней составляют (0, 0, ±1), (0, ±1, 0) и (±1, 0, 0). Нормали 8 гексагональных граней. Скалярное произведение между парами двух нормалей граней равно косинусу двугранного угла между смежными гранями, равного либо −1/3, либо −1/√2. Двугранный угол составляет приблизительно 1.910633 радиана (109.471°) на ребрах, общих для двух гексагонов, или 2.186276 радиана (125.263°) на ребрах, общих для гексагона и квадрата.
All permutations of (0, ±1, ±2) are Cartesian coordinates of the vertices of a truncated octahedron of edge length a = √2 centered at the origin. The vertices are thus also the corners of 12 rectangles whose long edges are parallel to the coordinate axes. The edge vectors have Cartesian coordinates (0, ±1, ±1) and permutations of these. The face normals (normalized cross products of edges that share a common vertex) of the 6 square faces are (0, 0, ±1), (0, ±1, 0) and (±1, 0, 0). The face normals of the 8 hexagonal faces are The dot product between pairs of two face normals is the cosine of the dihedral angle between adjacent faces, either − or −. The dihedral angle is approximately 1.910633 radians (109.471° ) at edges shared by two hexagons or 2.186276 radians (125.263° ) at edges shared by a hexagon and a square.
Пермутоэдр
Обрезанный октаэдр также может быть представлен еще более симметричными координатами в четырех измерениях: все перестановки (1, 2, 3, 4) образуют вершины обрезанного октаэдра в трехмерном подпространстве. Следовательно, обрезанный октаэдр является пермутоэдром порядка 4: каждая вершина соответствует перестановке (1, 2, 3, 4), а каждое ребро представляет собой обмен двух элементов.
Химия
Обрезанный октаэдр присутствует в структуре кристаллов фаухазита.
Скрытие данных
Обрезанный октаэдр (фактически, обобщенный усеченный октаэдр) используется при анализе ошибок модуляции индекса квантования (QIM) совместно с кодированием с повторениями.
Мутации симметрии
Этот многогранник является членом последовательности однородных узоров с фигурой вершины (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Динкина. Для p < 6 члены последовательности представляют собой всевозможные усечения многогранников (зоноэдры), представленные ниже в виде сферических мозаик. Для p > 6 они являются мозаиками гиперболической плоскости, начиная с усеченной тригептагональной мозаики. Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигурами вершин n.6.6, простирающейся в гиперболическую плоскость:
Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигурами вершин 4.2n.2n, простирающейся в гиперболическую плоскость:
Обрезанный октаэдрический график
В математической области теории графов, усечённый октаэдрический граф — это граф, представляющий вершины и рёбра усечённого октаэдра. Он имеет 24 вершины и 36 рёбер и является кубическим архимедовым графом. Его книжная толщина равна 3, а номер очереди — 2. Как гамильтонов кубический граф, он может быть представлен в LCF-нотации несколькими способами: [3, −7, 7, −3]6, [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11, 11, −5, −7, 7]2 и [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9, 9, 7, −5, −7, 3].