Ромбикосидодекаэдр: Архимедово тело с 20 треугольниками, 30 квадратами и 12 пентагонами. Геометрия, свойства, построение и связь с icosahedron и dodecahedron.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Архимедово тело
Archimedean solid
В геометрии ромбикозидодекаэдр — это Архимедово тело, одно из тринадцати выпуклых изогональных непrizматических многогранников, построенных из двух или более типов правильных многоугольных граней. Он имеет 20 правильных треугольных граней, 30 квадратных граней, 12 правильных пятиугольных граней, 60 вершин и 120 рёбер.
In geometry, the rhombicosidodecahedron is an Archimedean solid, one of thirteen convex isogonal nonprismatic solids constructed of two or more types of regular polygon faces. It has 20 regular triangular faces, 30 square faces, 12 regular pentagonal faces, 60 vertices, and 120 edges.
Имена
Иоганн Кеплер в "Harmonices Mundi" (1618) назвал этот многогранник ромбикосидодекаэдром, сокращая от "усечённого икосидодекаэдрического ромба", при этом икосидодекаэдрический ромб он называл ромбическим триаконтаэдром. Существуют различные способы усечения ромбического триаконтаэдра в топологический ромбикосидодекаэдр: наиболее заметны его ректификация (слева), создающая однородное многогранник (в центре), и ректификация двойственного икосидодекаэдра (справа), являющаяся основой двойного многогранника.
Johannes Kepler in Harmonices Mundi (1618) named this polyhedron a rhombicosidodecahedron, being short for truncated icosidodecahedral rhombus, with icosidodecahedral rhombus being his name for a rhombic triacontahedron. There are different truncations of a rhombic triacontahedron into a topological rhombicosidodecahedron: Prominently its rectification (left), the one that creates the uniform solid (center), and the rectification of the dual icosidodecahedron (right), which is the core of the dual compound.
Геометрические отношения
Если вы расширите икосаэдр, отводя грани от центра на необходимое расстояние, не изменяя ориентацию или размер граней, или сделаете то же самое с его двойным додекаэдром, и закроете получившиеся квадратные отверстия, вы получите ромбикосидодекаэдр. Следовательно, он имеет такое же количество треугольников, как и икосаэдр, и такое же количество пятиугольников, как додекаэдр, при этом на каждое ребро приходится по квадрату. В качестве альтернативы, если вы расширите каждый из пяти кубов, отводя грани от центра на необходимое расстояние и поворачивая каждый из пяти на 72° вокруг своей оси, чтобы они были равноудалены друг от друга, не изменяя ориентацию или размер граней, и закроете пятиугольные и треугольные отверстия, вы получите ромбикосидодекаэдр. Следовательно, он имеет такое же количество квадратов, как и пять кубов. Два скопления граней билунабиротунды, луны (каждая луна состоит из двух треугольников, примыкающих к противоположным сторонам одного квадрата), могут быть совмещены с соответствующим участком граней на ромбикосидодекаэдре. Если две билунабиротунды выровнены таким образом на противоположных сторонах ромбикосидодекаэдра, то куб можно поместить между ними в самом центре ромбикосидодекаэдра. Ромбикосидодекаэдр имеет такое же расположение вершин, как малый звёздчатый усечённый додекаэдр, и как однородные соединения из шести или двенадцати пентаграммовых призм. Наборы Zometool для создания геодезических куполов и других многогранников используют шарики с прорезями в качестве соединителей. Эти шарики представляют собой «расширенные» ромбикосидодекаэдры, в которых квадраты заменены прямоугольниками. Расширение выбрано таким образом, чтобы получившиеся прямоугольники были золотыми прямоугольниками. Двенадцать из 92 тел Джонсона происходят от ромбикосидодекаэдра, четыре из них получены путём вращения одного или нескольких пятиугольных куполов: гиратный, парабигиратный, метабигиратный и тригиратный ромбикосидодекаэдры. Ещё восемь можно построить, удаляя до трёх куполов, иногда также вращая один или несколько других куполов.
If you expand an icosahedron by moving the faces away from the origin the right amount, without changing the orientation or size of the faces, or do the same to its dual dodecahedron, and patch the square holes in the result, you get a rhombicosidodecahedron. Therefore, it has the same number of triangles as an icosahedron and the same number of pentagons as a dodecahedron, with a square for each edge of either. Alternatively, if you expand each of five cubes by moving the faces away from the origin the right amount and rotating each of the five 72° around so they are equidistant from each other, without changing the orientation or size of the faces, and patch the pentagonal and triangular holes in the result, you get a rhombicosidodecahedron. Therefore, it has the same number of squares as five cubes. Two clusters of faces of the bilunabirotunda, the lunes (each lune featuring two triangles adjacent to opposite sides of one square), can be aligned with a congruent patch of faces on the rhombicosidodecahedron. If two bilunabirotundae are aligned this way on opposite sides of the rhombicosidodecahedron, then a cube can be put between the bilunabirotundae at the very center of the rhombicosidodecahedron. The rhombicosidodecahedron shares the vertex arrangement with the small stellated truncated dodecahedron, and with the uniform compounds of six or twelve pentagrammic prisms. The Zometool kits for making geodesic domes and other polyhedra use slotted balls as connectors. The balls are "expanded" rhombicosidodecahedra, with the squares replaced by rectangles. The expansion is chosen so that the resulting rectangles are golden rectangles. Twelve of the 92 Johnson solids are derived from the rhombicosidodecahedron, four of them by rotation of one or more pentagonal cupolae: the gyrate, parabigyrate, metabigyrate, and trigyrate rhombicosidodecahedron. Eight more can be constructed by removing up to three cupolae, sometimes also rotating one or more of the other cupolae.
Мутации симметрии
Этот многогранник топологически связан с последовательностью усечённых многогранников с вершинной фигурой (3.4.n.4), которая продолжается в виде замощений гиперболической плоскости. Эти транзитивно-вершинные фигуры обладают отражательной симметрией (*n32).
This polyhedron is topologically related as a part of a sequence of cantellated polyhedra with vertex figure (3.4. n.4), which continues as tilings of the hyperbolic plane. These vertex transitive figures have (*n32) reflectional symmetry.
Ромбикозидодекаэдрический график
В математической области теории графов ромбикозидодекаэдрический граф — это граф, вершины и рёбра которого соответствуют вершинам и рёбрам ромбикозидодекаэдра, одного из архимедовых многогранников. Он содержит 60 вершин и 120 рёбер и является кватичным архимедовым графом.
In the mathematical field of graph theory, a rhombicosidodecahedral graph is the graph of vertices and edges of the rhombicosidodecahedron, one of the Archimedean solids. It has 60 vertices and 120 edges, and is a quartic graph Archimedean graph.