Введение

Просто связная поверхность Римана эквивалентна открытому диску, комплексной плоскости или сфере.

В математике теорема об униформизации утверждает, что каждая просто связная поверхность Римана конформно эквивалентна одной из трех поверхностей Римана: открытому единичному диску, комплексной плоскости или сфере Римана. Теорема является обобщением теоремы Римана об отображениях с просто связных открытых подмножеств плоскости на произвольные просто связные поверхности Римана. Поскольку каждая поверхность Римана имеет универсальное накрытие, которое является просто связной поверхностью Римана, теорема об униформизации приводит к классификации поверхностей Римана на три типа: те, которые имеют сферу Римана в качестве универсального накрытия ("эллиптический" тип), те, у которых плоскость является универсальным накрытием ("параболический" тип), и те, у которых единичный диск является универсальным накрытием ("гиперболический" тип). Далее следует, что каждая поверхность Римана допускает риманову метрику постоянной кривизны, при которой кривизна может быть равна 1 в эллиптическом случае, 0 в параболическом случае и -1 в гиперболическом случае. Теорема об униформизации также дает аналогичную классификацию замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий на эллиптический, параболический и гиперболический типы. Каждое такое многообразие имеет конформно эквивалентную риманову метрику с постоянной кривизной, при которой кривизна может быть равна 1 в эллиптическом случае, 0 в параболическом случае и -1 в гиперболическом случае.

История

Феликс и Анри выдвинули гипотезу теоремы об униформизации для (поверхностей Римана) алгебраических кривых, расширили её на произвольные многозначные аналитические функции и привели неофициальные аргументы в её поддержку. Первые строгие доказательства общей теоремы об униформизации были получены , а позже Пол Коэбе дал несколько дополнительных доказательств и обобщений. История вопроса описана в ; полный обзор униформизации до работ Коэбе и Пуанкаре 1907 года с подробными доказательствами представлен в (псевдоним в стиле Бурбаки группы из пятнадцати математиков, совместно подготовивших эту публикацию).

Методы доказательства

Многие классические доказательства теоремы об униформизации опираются на построение гармонической функции с вещественными значениями на односвязной римановой поверхности, возможно, с сингулярностью в одной или двух точках и часто соответствующей форме функции Грина. Широко используются четыре метода построения гармонической функции: метод Перрона, чередующийся метод Шварца, принцип Дирихле и метод ортогонального проецирования Вейля. В контексте замкнутых римановых 2-многообразий несколько современных доказательств используют нелинейные дифференциальные уравнения на пространстве конформно эквивалентных метрик. К ним относятся уравнение Бельтрами из теории Тейхмюллера и эквивалентная формулировка в терминах гармонических отображений, уравнение Лиувиля, уже изученное Пуанкаре, и поток Риччи вместе с другими нелинейными потоками. Теорема Радо показывает, что каждая риманова поверхность автоматически является счетно второй категории. Хотя теорема Радо часто используется в доказательствах теоремы об униформизации, некоторые доказательства сформулированы таким образом, что теорема Радо становится следствием. Счетная вторая категория автоматична для компактных римановых поверхностей.

Методы гильбертово-пространственного анализа

В 1913 году Герман Вейль опубликовал свой классический учебник "Die Idee der Riemannschen Fläche" на основе своих лекций в Геттингене в 1911–1912 годах. Это была первая книга, представившая теорию поверхностей Римана в современном виде, и она оставалась влиятельной на протяжении всех трех изданий. Первое издание, посвященное Феликсу Кляйну, включало в себя подход Гильберта к проблеме Дирихле с использованием методов гильбертова пространства; вклад Брауэра в топологию; доказательство Коэбе теоремы об униформизации и последующие ее улучшения. Гораздо позже Вейль разработал свой метод ортогонального проецирования, который предложил более простой подход к проблеме Дирихле, также основанный на гильбертовом пространстве; эта теория, включавшая лемму Вейля об эллиптической регулярности, была связана с теорией гармонических интегралов Ходжа; и обе теории вошли в состав современной теории эллиптических операторов и пространств Соболева L² . В третьем издании своей книги 1955 года, переведенном на английский язык в , Вейль принял современное определение дифференциального многообразия, предпочтя его триангуляциям, но решил не использовать свой метод ортогонального проецирования. Автор следовал изложению Вейля теоремы об униформизации, но использовал метод ортогонального проецирования для решения проблемы Дирихле. В работе описывается подход, представленный в книге Вейля, а также способы его сокращения с использованием метода ортогонального проецирования. Связанное изложение можно найти в .

Нелинейные потоки

Ричард С. Гамильтон показал, что нормализованный поток Риччи на замкнутой поверхности униформизирует метрику (то есть поток сходится к метрике постоянной кривизны). Однако его доказательство опиралось на теорему об униформизации. Отсутствующий этап касался потока Риччи на 2-сфере: метод, позволяющий избежать обращения к теореме об униформизации (для рода 0), был предложен ; краткое самодостаточное изложение потока Риччи на 2-сфере было дано в .

Обобщения

Коэбе доказал теорему об общей униформизации, утверждающую, что если поверхность Римана гомеоморфна открытому подмножеству комплексной сферы (или, что эквивалентно, любая кривая Жордана разделяет её), то она конформно эквивалентна открытому подмножеству комплексной сферы. В трех измерениях существует 8 геометрий, называемых восемью геометриями Турстона. Не каждое трехмерное многообразие допускает геометрию, но гипотеза геометризации Турстона, доказанная Григорием Перельманом, утверждает, что любое трехмерное многообразие можно разбить на части, допускающие геометризацию. Теорема Липмана Берса об одновременной униформизации показывает, что можно одновременно униформизировать две компактные поверхности Римана одного и того же рода, большего 1, с одной и той же квазифуксианской группой. Измеримая теорема о римановом отображении показывает в более общем виде, что отображение в открытое подмножество комплексной сферы в теореме об униформизации можно выбрать квазиконформным с любым заданным ограниченным измеримым коэффициентом Бельтрами.

Исторические ссылки

Да.

Общие ссылки

Да.