Введение

В математике глобальное поле — это один из двух типов полей (другой — локальные поля), которые характеризуются с помощью валораций. Существуют два вида глобальных полей:

Алгебраическое числовое поле: конечное расширение поля.
Глобальное поле функций: поле функций неразложимой алгебраической кривой над конечным полем, что эквивалентно, конечное расширение , поля рациональных функций одной переменной над конечным полем из элементов. Аксиоматическая характеристика этих полей посредством теории валораций была дана Эмилем Артином и Джорджем Уэплсом в 1940-х годах.

Аналогии между двумя классами полей

Между этими двумя видами полей существует ряд формальных сходств. Поле любого типа обладает свойством, что все его завершения являются локально компактными полями (см. локальные поля). Каждое поле любого типа может быть представлено как поле частных домена Дедекинда, в котором каждый ненулевой идеал имеет конечный индекс. В каждом случае существует формула произведения для ненулевых элементов x:

Аналогия между этими двумя видами полей стала мощным стимулом в алгебраической теории чисел. Идея аналогии между числовыми полями и поверхностями Римана восходит к Ричарду Дедекинду и Генриху М. Веберу в девятнадцатом веке. Более строгая аналогия, выраженная идеей «глобального поля», в которой представление поверхности Римана как алгебраической кривой сопоставляется с кривыми, заданными над конечным полем, формировалась в 1930-х годах и завершилась доказательством гипотезы Римана для кривых над конечными полями, выполненным Андре Вейлем в 1940 году. Терминология, возможно, принадлежит Вейлю, который написал свою «Основную теорию чисел» (1967) отчасти для разработки этого параллелизма. Обычно проще работать в случае поля функций, а затем пытаться разработать аналогичные методы для числовых полей. Развитие теории Аракелова и её использование Гердом Фальтингсом в доказательстве гипотезы Морделла является ярким примером. Аналогия также оказала влияние на развитие теории Ивасавы и основной гипотезы. При доказательстве фундаментальной леммы в программе Лэнгландса также использовались методы, сводившие задачу для числовых полей к задаче для полей функций.

Теорема Хассе Минковского

Теорема Хассе–Минковского — фундаментальный результат в теории чисел, утверждающий, что две квадратичные формы над глобальным полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны локально во всех местах, то есть эквивалентны над каждым полным полем.