Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, характер – это (чаще всего) специальный вид функции из группы в поле (например, комплексных чисел). Существует как минимум два различных, но пересекающихся значения. Другие употребления слова "характер" почти всегда уточняются.
In mathematics, a character is (most commonly) a special kind of function from a group to a field (such as the complex numbers). There are at least two distinct, but overlapping meanings. Other uses of the word "character" are almost always qualified.
Умножающий характер
Мультипликативный символ (или линейный символ, или просто символ) на группе G — это групповой гомоморфизм из G в мультипликативную группу поля, обычно поля комплексных чисел. Если G — любая группа, то множество Ch(G) этих гомоморфизмов образует абелеву группу относительно поточечного умножения. Эта группа называется группой символов группы G. Иногда рассматриваются только унитарные символы (то есть, область значений лежит на единичной окружности); другие подобные гомоморфизмы тогда называются квазисимволами. Характеры Дирихле можно рассматривать как частный случай этого определения. Мультипликативные символы линейно независимы, то есть, если — различные символы на группе G, то из этого следует, что .
A multiplicative character (or linear character, or simply character) on a group G is a group homomorphism from G to the multiplicative group of a field , usually the field of complex numbers. If G is any group, then the set Ch(G) of these morphisms forms an abelian group under pointwise multiplication. This group is referred to as the character group of G. Sometimes only unitary characters are considered (thus the image is in the unit circle); other such homomorphisms are then called quasi characters. Dirichlet characters can be seen as a special case of this definition. Multiplicative characters are linearly independent, i. e. if are different characters on a group G then from it follows that .
Альтернативное определение
Если ограничить конечной абелевой группой с представлением в (т. е. ), то следующее альтернативное определение будет эквивалентно вышеуказанному (Для абелевых групп каждое матричное представление раскладывается в прямую сумму одномерных представлений. Для неабелевых групп исходное определение было бы более общим, чем это):
If restricted to finite abelian group with representation in (i. e. ), the following alternative definition would be equivalent to the above (For abelian groups, every matrix representation decomposes into a direct sum of representations. For non abelian groups, the original definition would be more general than this one):
Характер группы – это групповой гомоморфизм, то есть для всех .
A character of group is a group homomorphism i. e. for all
Если – конечная абелева группа, то характеры играют роль гармоник. Для бесконечных абелевых групп вышесказанное заменяется на , где – круговая группа.
If is a finite abelian group, the characters play the role of harmonics. For infinite abelian groups, the above would be replaced by where is the circle group.