Аксиоматизация квантовой теории поля

Введение

В математической физике аксиомы Уайтмана (также называемые аксиомами Гардинга — Уайтмана), названные в честь Артура Уайтмана, представляют собой попытку математически строгой формулировки квантовой теории поля. Артур Уайтман сформулировал эти аксиомы в начале 1950-х годов, но они были впервые опубликованы лишь в 1964 году, после того как теория рассеяния Хаага — Руэля подтвердила их значимость. Аксиомы существуют в контексте конструктивной квантовой теории поля и призваны обеспечить основу для строгого обращения с квантовыми полями и надёжное обоснование используемых методов теории возмущений. Одной из проблем тысячелетия является реализация аксиом Уайтмана для полей Янга — Миллса.

Обоснование

Одна из основных идей аксиом Уайтмана заключается в том, что существует пространство Гильберта, на котором группа Пуанкаре действует унитарно. Таким образом реализуются понятия энергии, импульса, углового момента и центра масс (соответствующие бустам). Существует также предположение о стабильности, которое ограничивает спектр четырех импульса положительным световым конусом (и его границей). Однако этого недостаточно для реализации локальности. Для этого в аксиомах Уайтмана используются операторы, зависящие от положения, называемые квантовыми полями, которые образуют ковариантные представления группы Пуанкаре. Поскольку квантовая теория поля страдает от ультрафиолетовых проблем, значение поля в точке не определено. Чтобы обойти это, аксиомы Уайтмана вводят идею "размазывания" по тестовой функции для подавления УФ-расходимостей, которые возникают даже в теории свободного поля. Поскольку аксиомы имеют дело с неограниченными операторами, необходимо задавать области определения этих операторов. Аксиомы Уайтмана ограничивают причинно-следственную структуру теории, налагая коммутативность или антикоммутативность между полями, разделенными пространственно-подобными поверхностями. Они также постулируют существование инвариантного относительно группы Пуанкаре состояния, называемого вакуумом, и требуют его единственности. Более того, аксиомы предполагают, что вакуум является "циклическим", то есть множество всех векторов, получаемых путем вычисления значений элементов полиномиальной алгебры, порожденной операторами размазанных полей, в вакуумном состоянии, является плотным подмножеством всего пространства Гильберта. Наконец, существует примитивное ограничение причинности, которое утверждает, что любой полином от размазанных полей может быть сколь угодно точно аппроксимирован (то есть является пределом операторов в слабой топологии) полиномами от размазанных полей над тестовыми функциями с носителем в открытом множестве в пространстве Минковского, причинный замыкание которого совпадает со всем пространством Минковского.

W1 (предположения о домене и непрерывности поля)

Для каждой тестовой функции f, то есть функции с компактным носителем и непрерывными производными любого порядка, существует множество операторов, которые вместе со своими сопряженными определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащем вакуум. Поля A являются операторнозначными обобщенными функциями. Гильбертово пространство состояний порождается полиномами полей, действующими на вакуум (условие цикличности).

W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)

Если опоры двух полей разделены пространственно, то эти поля либо коммутируют, либо антикоммутируют. Цикличность вакуума и единственность вакуума иногда рассматриваются по отдельности. Кроме того, существует свойство асимптотической полноты: гильбертово пространство состояний порождается асимптотическими пространствами и , возникающими в S-матрице рассеяния. Другим важным свойством квантовой теории поля является наличие массы, которое не вытекает из аксиом, требующих существования разрыва в спектре энергии-импульса между нулем и некоторым положительным числом.

Связь с другими рамками и концепциями в квантовой теории поля

Фреймворк Уайтмана не охватывает бесконечноэнергетические состояния, такие как состояния с конечной температурой. В отличие от локальной квантовой теории поля, аксиомы Уайтмана явно ограничивают причинную структуру теории, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между полями, разделенными пространственно-подобными интервалами, вместо того чтобы выводить причинную структуру как теорему. Если рассмотреть обобщение аксиом Уайтмана на измерения, отличные от 4, этот постулат (анти)коммутативности исключает энионы и статистику заплетения в более низких измерениях. Постулат Уайтмана об однозначности вакуумного состояния не обязательно делает аксиомы Уайтмана неприменимыми к случаю спонтанного нарушения симметрии, поскольку мы всегда можем ограничиться суперселекционным сектором. Цикличность вакуума, требуемая аксиомами Уайтмана, означает, что они описывают только суперселекционный сектор вакуума; опять же, это не приводит к существенной потере общности. Однако это предположение исключает конечноэнергетические состояния, такие как солитоны, которые нельзя сгенерировать полиномами от полей, усредненных тестовыми функциями, поскольку солитон, по крайней мере с точки зрения теории поля, является глобальной структурой, включающей топологические граничные условия на бесконечности. Фреймворк Уайтмана не охватывает эффективные теории поля, поскольку нет ограничений на то, насколько мала может быть поддержка тестовой функции. То есть, отсутствует масштаб отсечения. Фреймворк Уайтмана также не охватывает калибровочные теории. Даже в абелевых калибровочных теориях традиционные подходы начинаются с «гильбертова пространства» с неопределенной нормой (следовательно, это не совсем гильбертово пространство, которое требует положительно определенной нормы, но физики все равно называют его гильбертовым пространством), а физические состояния и физические операторы принадлежат к кохомологии. Это явно не охватывается фреймворком Уайтмана. (Однако, как показали Швингер, Христов и Ли, Грибов, Званзигер, Ван Баал и др., каноническое квантование калибровочных теорий в кулоновской калибровке возможно с обычным гильбертовым пространством, и это может быть способом включить их в область применимости аксиоматической системы.) Аксиомы Уайтмана могут быть переформулированы в терминах состояния, называемого функционалом Уайтмана на алгебре Борчера, равной тензорной алгебре пространства тестовых функций.

The Wightman framework does not cover infinite energy states like finite temperature states. Unlike local quantum field theory, the Wightman axioms restrict the causal structure of the theory explicitly by imposing either commutativity or anticommutativity between spacelike separated fields, instead of deriving the causal structure as a theorem. If one considers a generalization of the Wightman axioms to dimensions other than 4, this (anti)commutativity postulate rules out anyons and braid statistics in lower dimensions. The Wightman postulate of a unique vacuum state does not necessarily make the Wightman axioms inappropriate for the case of spontaneous symmetry breaking because we can always restrict ourselves to a superselection sector. The cyclicity of the vacuum demanded by the Wightman axioms means that they describe only the superselection sector of the vacuum; again, this is not a great loss of generality. However, this assumption does leave out finite energy states like solitons, which cannot be generated by a polynomial of fields smeared by test functions because a soliton, at least from a field theoretic perspective, is a global structure involving topological boundary conditions at infinity. The Wightman framework does not cover effective field theories because there is no limit as to how small the support of a test function can be. I. e., there is no cutoff scale. The Wightman framework also does not cover gauge theories. Even in Abelian gauge theories conventional approaches start off with a "Hilbert space" with an indefinite norm (hence not truly a Hilbert space, which requires a positive definite norm, but physicists call it a Hilbert space nonetheless), and the physical states and physical operators belong to a cohomology. This obviously is not covered anywhere in the Wightman framework. (However, as shown by Schwinger, Christ and Lee, Gribov, Zwanziger, Van Baal, etc., canonical quantization of gauge theories in Coulomb gauge is possible with an ordinary Hilbert space, and this might be the way to make them fall under the applicability of the axiom systematics.) The Wightman axioms can be rephrased in terms of a state called a Wightman functional on a Borchers algebra equal to the tensor algebra of a space of test functions.

Существование теорий, удовлетворяющих аксиомам

Можно обобщить аксиомы Уайтмана на измерения, отличные от 4. В измерениях 2 и 3 построены взаимодействующие (то есть не свободные) теории, удовлетворяющие этим аксиомам. В настоящее время не существует доказательства того, что аксиомы Уайтмана могут быть выполнены для взаимодействующих теорий в измерении 4. В частности, Стандартная модель физики частиц не имеет математически строгих основ. За доказательство того, что аксиомы Уайтмана могут быть выполнены для калибровочных теорий с дополнительным требованием существования массового разрыва, присуждается премия в миллион долларов.

Теорема реконструкции Остервальдера и Шредера

При определенных технических предположениях было показано, что евклидова квантовая теория поля может быть преобразована вик-вращением в квантовую теорию поля Уайтмана, см. теорему Остервальдера — Шредера. Эта теорема является ключевым инструментом при построении взаимодействующих теорий в двух и трех измерениях, удовлетворяющих аксиомам Уайтмана.