Введение

Математический трюк с использованием мнимых чисел для упрощения определенных формул в физике.

В физике вращение Вика, названное в честь итальянского физика Джан Карло Вика, — это метод нахождения решения математической задачи в пространстве Минковского из решения связанной задачи в евклидовом пространстве посредством преобразования, заменяющего мнимую переменную на действительную. Вращения Вика можно рассматривать как полезный прием, работающий благодаря сходству уравнений двух, казалось бы, различных областей физики. Это проявляется в сходстве между двумя центральными объектами в квантовой механике и статистической механике, где H — гамильтониан, связанный с сохраняющейся энергией: преобразование exp(−iHt/ħ), вытекающее из уравнения Шрёдингера, и мера Гиббса exp(H/kBT), возникающая при рассмотрении систем в среде (где t — время, ħ — постоянная Планка, T — температура и kB — постоянная Больцмана). Вращение Вика называется вращением, поскольку при представлении комплексных чисел в виде плоскости умножение комплексного числа на мнимую единицу эквивалентно повороту вектора, представляющего это число, против часовой стрелки на угол величиной π/2 относительно начала координат.

Как термическая/квантовая, так и статическая/динамическая

Вместе взятые, два предыдущих примера показывают, как интегральное представление квантовой механики связано со статистической механикой. В статистической механике форма каждой пружины в ансамбле при температуре T будет отклоняться от формы, соответствующей минимальной энергии, из-за тепловых флуктуаций; вероятность обнаружить пружину с заданной формой экспоненциально уменьшается с ростом разности энергии от минимальной энергии. Аналогично, квантовая частица, движущаяся в потенциале, может быть описана суперпозицией траекторий, каждая из которых имеет фазу exp(iS): тепловые изменения формы в ансамбле превращаются в квантовую неопределенность траектории квантовой частицы.

Дополнительные сведения

Уравнение Шрёдингера и уравнение теплопроводности также связаны преобразованием Вика. Однако существует небольшое различие. N-точечные корреляционные функции в статистической механике удовлетворяют условию положительности, в то время как квантовые теории поля, подвергнутые преобразованию Вика, удовлетворяют условию отражательной положительности. Преобразование Вика также связывает квантовую теорию поля при конечной обратной температуре β со статистической механической моделью на "трубке" R³ × S¹ с мнимой временной координатой τ, периодической с периодом β. Важно отметить, однако, что преобразование Вика нельзя рассматривать как вращение в комплексном векторном пространстве, снабженном обычной нормой и метрикой, индуцированной скалярным произведением, поскольку в этом случае вращение бы аннулировалось и не имело бы никакого эффекта.

Строгое доказательство

Дирк Шлингеман доказал, что более строгая связь между евклидовой теорией и квантовой теорией поля может быть установлена с помощью теоремы Остервальдера-Шредера.