Введение

Любая величина, которую можно измерить, применение в физике.

В физике наблюдаемая – это физическое свойство или физическая величина, которую можно измерить. В классической механике наблюдаемая – это функция вещественных значений на множестве всех возможных состояний системы, например, положение и импульс. В квантовой механике наблюдаемая – это оператор или измерительный прибор, посредством которого свойство квантового состояния может быть определено некоторой последовательностью операций. Например, эти операции могут включать воздействие на систему различными электромагнитными полями и последующее снятие показаний. Физически значимые наблюдаемые также должны удовлетворять законам преобразования, связывающим наблюдения, выполненные разными наблюдателями в разных системах отсчета. Эти законы преобразования являются автоморфизмами пространства состояний, то есть биективными преобразованиями, сохраняющими определенные математические свойства рассматриваемого пространства.

Квантовая механика

В квантовой механике наблюдаемые проявляются как самосопряжённые операторы на сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве, представляющем пространство квантовых состояний. Наблюдаемые присваивают значения результатам конкретных измерений, соответствующие собственному значению оператора. Если эти результаты представляют физически допустимые состояния (т.е. принадлежащие гильбертову пространству), то собственные значения вещественны; однако обратное не обязательно верно. В результате, только определённые измерения могут определить значение наблюдаемой для некоторого состояния квантовой системы. В классической механике любое измерение может быть выполнено для определения значения наблюдаемой. Отношение между состоянием квантовой системы и значением наблюдаемой требует использования линейной алгебры для его описания. В математической формулировке квантовой механики, с точностью до фазового множителя, чистые состояния задаются ненулевыми векторами в гильбертовом пространстве V. Два вектора v и w считаются задающими одно и то же состояние, если и только если для некоторого ненулевого числа. Наблюдаемые задаются самосопряжёнными операторами на V. Не каждый самосопряжённый оператор соответствует физически осмысленному наблюдаемому. Кроме того, не все физические наблюдаемые связаны с нетривиальными самосопряжёнными операторами. Например, в квантовой теории масса выступает в качестве параметра в гамильтониане, а не как нетривиальный оператор. В случае законов преобразования в квантовой механике, необходимые автоморфизмы являются унитарными (или антиунитарными) линейными преобразованиями гильбертова пространства V. В соответствии с галилеевской или специальной теорией относительности, математика систем отсчёта особенно проста, что существенно ограничивает множество физически осмысленных наблюдаемых. В квантовой механике измерение наблюдаемых демонстрирует некоторые, на первый взгляд, неинтуитивные свойства. В частности, если система находится в состоянии, описанном вектором в гильбертовом пространстве, процесс измерения влияет на состояние недетерминированным, но статистически предсказуемым образом. В частности, после проведения измерения описание состояния одним вектором может быть разрушено, заменяясь статистическим ансамблем. Необратимый характер измерительных операций в квантовой физике иногда называют проблемой измерения и математически описывается квантовыми операциями. По структуре квантовых операций это описание математически эквивалентно тому, что предлагается интерпретацией относительных состояний, где исходная система рассматривается как подсистема большей системы, а состояние исходной системы задаётся частичным следом состояния большей системы. В квантовой механике динамические переменные, такие как положение, трансляционный (линейный) импульс, орбитальный угловой момент, спин и полный угловой момент, каждая связана с самосопряжённым оператором, действующим на состояние квантовой системы. Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям, которые может принимать динамическая переменная при измерении. Например, предположим, что является собственным вектором (собственным кетом) наблюдаемой , с собственным значением , и существует в гильбертовом пространстве. Тогда это уравнение собственного вектора означает, что если измерение наблюдаемой производится, когда интересующая система находится в состоянии , то наблюдаемое значение этого конкретного измерения должно с уверенностью вернуть собственное значение . Однако, если интересующая система находится в общем состоянии (и и являются единичными векторами, а собственное пространство является одномерным), то собственное значение возвращается с вероятностью , согласно правилу Борна.

Совместимые и несовместимые наблюдаемые в квантовой механике

Ключевое различие между классическими величинами и квантово-механическими наблюдаемыми заключается в том, что некоторые пары квантовых наблюдаемых могут быть не одновременно измеримы, свойство, называемое комплементарностью. Это математически выражается некоммутативностью соответствующих операторов, а именно, что коммутатор

Это неравенство выражает зависимость результатов измерений от порядка, в котором проводятся измерения наблюдаемых и . Измерение изменяет квантовое состояние таким образом, что оно становится несовместимым с последующим измерением и наоборот. Наблюдаемые, соответствующие коммутирующим операторам, называются совместимыми наблюдаемыми. Например, импульс вдоль, скажем, оси и оси являются совместимыми. Наблюдаемые, соответствующие некоммутирующим операторам, называются несовместимыми наблюдаемыми или комплементарными переменными. Например, координата и импульс вдоль одной и той же оси являются несовместимыми. Несовместимые наблюдаемые не могут иметь полный набор общих собственных функций. Следует отметить, что могут существовать некоторые совместные собственные векторы и , но их недостаточно для формирования полного базиса.