Введение

Полиэдр с четырьмя гранями

В геометрии тетраэдр (англ. tetrahedron, также известный как треугольная пирамида) — это полиэдр, состоящий из четырёх треугольных граней, шести прямых рёбер и четырёх вершин. Тетраэдр — самый простой из всех обычных выпуклых многогранников. Тетраэдр является трёхмерным случаем более общей концепции евклидова симплекса, и поэтому его также можно назвать 3-симплексом. Тетраэдр — это один из видов пирамиды, представляющий собой многогранник с плоским многоугольным основанием и треугольными гранями, соединяющими основание с общей вершиной. В случае тетраэдра основанием является треугольник (любая из четырёх граней может рассматриваться как основание), поэтому тетраэдр также известен как «треугольная пирамида». Как и все выпуклые многогранники, тетраэдр можно развернуть из одного листа бумаги. Существует две такие развёртки.

Регулярный тетраэдр

Регулярный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Он является одним из пяти правильных платоновых многогранников, известных с античных времён. В регулярном тетраэдре все грани одинакового размера и формы (конгруэнтны), а все рёбра имеют одинаковую длину. Отдельные регулярные тетраэдры не допускают замощение (не заполняют пространство), но при чередовании с правильными октаэдрами в соотношении два тетраэдра к одному октаэдру они образуют чередующуюся кубическую сотовую структуру, которая и является замощением. Некоторые тетраэдры, не являющиеся правильными, включая ортосхему Шлефли и тетраэдр Хилла, могут допускать замощение. Регулярный тетраэдр самодвойственен, то есть его двойственный многогранник — это другой регулярный тетраэдр. Составная фигура, состоящая из двух таких двойственных тетраэдров, образует звёздный октаэдр или stella octangula.

Поперечное сечение правильного тетраэдра

Два взаимно перпендикулярных противоположных ребра правильного тетраэдра определяют набор параллельных плоскостей. Когда одна из этих плоскостей пересекает тетраэдр, в результате получается прямоугольное сечение. Если пересекающая плоскость находится близко к одному из ребер, прямоугольник вытянутый и узкий. На полпути между двумя ребрами сечение представляет собой квадрат. Отношение сторон прямоугольника меняется на противоположное при пересечении этой середины. Для квадратного сечения в средней точке, образующая граница проходит по каждой грани тетраэдра одинаково. Если тетраэдр рассечь по этой плоскости, обе половины образуют клинья. Это свойство также применимо к тетрагональным дисфеноидам применительно к двум особым парам ребер.

Сплит спиралей

Регулярные тетраэдры можно складывать гранями друг к другу, образуя хиральную апериодическую цепь, называемую спиралью Буэрдикса — Коксетера. В четырёх измерениях все выпуклые правильные 4-политопы с тетраэдрическими ячейками (5-ячейник, 16-ячейник и 600-ячейник) могут быть построены как мощения 3-сферы этими цепями, которые становятся периодическими в трёхмерном пространстве граничной поверхности 4-политопа.

Нерегулярный тетраэдр

Отношения подгрупп тетраэдрической симметрии. Тетраэдрические симметрии, представленные на тетраэдрических диаграммах. Тетраэдры, не имеющие четырех равносторонних граней, классифицируются и называются в соответствии с симметриями, которыми они обладают. Если все три пары противоположных рёбер тетраэдра перпендикулярны, то он называется ортоцентрическим тетраэдром. Если только одна пара противоположных рёбер перпендикулярна, то он называется полуортоцентрическим тетраэдром. Изодинамический тетраэдр – это тетраэдр, в котором цевианы, соединяющие вершины с инцентрами противоположных граней, пересекаются в одной точке. Изогонический тетраэдр имеет цевианы, соединяющие вершины с точками касания противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра, пересекающиеся в одной точке.

Трехугольный тетраэдр

В трипрямоугольном тетраэдре три плоских угла при одной вершине являются прямыми, как в углу куба. Кеплер открыл связь между кубом, правильным тетраэдром и трипрямоугольным тетраэдром.

Дисфеноид

Дисфеноид — это тетраэдр, все четыре грани которого являются равными треугольниками; углы этих треугольников обязательно острые. Правильный тетраэдр является частным случаем дисфеноида. Другими названиями для этой формы являются бисфеноид, равногранный тетраэдр и изогонический тетраэдр.

Тетраэдры заполняющие пространство

Тетраэдр, заполняющий пространство, укладывается в мозаику, используя непосредственно конгруэнтные или энантиоморфные (зеркальные) копии самого себя. Куб можно разбить на шесть 3-ортосхем, три левосторонние и три правосторонние (по одной на каждой грани куба), и кубы могут заполнять пространство, следовательно, характерная 3-ортосхема куба является тетраэдром, заполняющим пространство, в этом смысле. Дисфеноид может быть тетраэдром, заполняющим пространство, в смысле прямой конгруэнтности, как в дисфеноидном тетраэдрическом соте. Однако правильные тетраэдры не могут заполнить пространство самостоятельно.

Основные области

Нерегулярный тетраэдр, являющийся фундаментальной областью группы симметрии, представляет собой пример тетраэдра Гурсата. Тетраэдры Гурсата генерируют все правильные полиэдры (и многие другие однородные полиэдры) посредством зеркальных отражений, процесс, известный как калейдоскопическая конструкция Уайтхоффа. Для полиэдров конструкция Уайтхоффа располагает три зеркала под углами друг к другу, как в калейдоскопе. В отличие от цилиндрического калейдоскопа, зеркала Уайтхоффа расположены на трех гранях тетраэдра Гурсата таким образом, что все три зеркала пересекаются в одной точке. Среди тетраэдров Гурсата, генерирующих трёхмерные соты, можно выделить ортосхему (характерный тетраэдр куба), двойную ортосхему (характерный тетраэдр грани куба, соединённый со своим зеркальным отражением) и пространственно-заполняющий дисфеноид, изображённый выше. Дисфеноид представляет собой двойную ортосхему, соединённую со своим зеркальным отражением (четверная ортосхема). Таким образом, все три этих тетраэдра Гурсата и все полиэдры, которые они генерируют отражениями, могут быть разделены на характерные тетраэдры куба.

Изометрии нерегулярных тетраэдров

Изометрии нерегулярного (немаркированного) тетраэдра зависят от геометрии тетраэдра, при этом возможно 7 случаев. В каждом случае формируется трехмерная точечная группа. Две другие изометрии (C3, [3]+) и (S4, [2+,4+]) могут существовать, если учитывается маркировка граней или ребер. Для каждого типа ниже приведены тетраэдрические диаграммы, с ребрами, окрашенными по изометрическому соответствию, и серыми – для уникальных ребер. Название тетраэдра Диаграмма эквивалентности ребер Описание Симметрия Шён. Кокс. Орб. Порядок Регулярный тетраэдр Четыре равносторонних треугольника Формирует группу симметрии Td, изоморфную симметричной группе S4. Регулярный тетраэдр имеет диаграмму Коксетера и символ Шлефли {3,3}. Td T[3,3] [3,3]+*3 32 332 24 12 Треугольная пирамида Равностороннее треугольное основание и три равных боковых равнобедренных треугольника Дает 6 изометрий, соответствующих 6 изометриям основания. В качестве перестановок вершин эти 6 изометрий – тождественная 1, (123), (132), (12), (13) и (23), образуя группу симметрии C3v, изоморфную симметричной группе S3. Треугольная пирамида имеет символ Шлефли {3}∨(). C3v C3 [3] [3]+ *3 333 6 3 Зеркальный сфеноид Два равных неравносторонних треугольника с общим основанием Это имеет две пары равных ребер (1,3), (1,4) и (2,3), (2,4), и в противном случае нет равных ребер. Единственные две изометрии – 1 и отражение (34), дающие группу Cs, также изоморфную циклической группе Z2. Cs=C1h=C1v [ ] * 2 Нерегулярный тетраэдр (Без симметрии) Четыре неравных треугольника Его единственная изометрия – тождество, а группа симметрии – тривиальная группа. Нерегулярный тетраэдр имеет символ Шлефли ()∨()∨()∨(). C1 [ ]+1 1 Дисфеноиды (Четыре равных треугольника) Тетрагональный дисфеноид Четыре равных равнобедренных треугольника Имеет 8 изометрий. Если ребра (1,2) и (3,4) имеют разную длину по сравнению с остальными 4, то 8 изометрий – это тождество 1, отражения (12) и (34), и вращения на 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23) и несобственные вращения на 90° (1234) и (1432), образующие группу симметрии D2d. Тетрагональный дисфеноид имеет диаграмму Коксетера и символ Шлефли s{2,4}. D2d S4 [2+,4] [2+,4+] 2*22× 8 4 Ромбический дисфеноид Четыре равных неравносторонних треугольника Имеет 4 изометрии. Изометрии – 1 и вращения на 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23). Это группа Кляйна V4 или Z22, представленная как точечная группа D2. Ромбический дисфеноид имеет диаграмму Коксетера и символ Шлефли sr{2,2}. D2 [2,2]+ 2 2 2 4 Общие дисфеноиды (2 пары равных треугольников) Дигональный дисфеноид Две пары равных равнобедренных треугольников Это дает две противоположные ребра (1,2) и (3,4), которые перпендикулярны, но имеют разную длину, а затем 4 изометрии – 1, отражения (12) и (34) и вращение на 180° (12)(34). Группа симметрии C2v, изоморфная группе Кляйна V4. Дигональный дисфеноид имеет символ Шлефли { }∨{ }. C2v C2 [2] [2]+ *2 2 2 2 4 Филлический дисфеноид Две пары равных неравносторонних или равнобедренных треугольников Имеет две пары равных ребер (1,3), (2,4) и (1,4), (2,3), но в остальном нет равных ребер. Единственные две изометрии – 1 и вращение (12)(34), дающие группу C2, изоморфную циклической группе Z2. C2 [2]+ 2 2 2

Подразделения и классы сходства

Субдивизия тетраэдров — это процесс, используемый в вычислительной геометрии и 3D-моделировании для разделения тетраэдра на несколько меньших тетраэдров. Этот процесс повышает сложность и детализацию тетраэдрических сеток, что особенно полезно в численных симуляциях, конечно-элементном анализе и компьютерной графике. Одним из распространенных методов субдивизии является бисекция самого длинного ребра (Longest Edge Bisection, LEB), которая определяет самое длинное ребро тетраэдра и делит его пополам в средней точке, создавая два новых, меньших тетраэдра. Если этот процесс повторяется несколько раз, разделяя все тетраэдры, сгенерированные на каждой предыдущей итерации, то процесс называется итеративной LEB. Класс подобия — это множество тетраэдров с одинаковой геометрической формой, независимо от их конкретного положения, ориентации и масштаба. Таким образом, любые два тетраэдра, принадлежащие одному и тому же классу подобия, могут быть преобразованы друг в друга аффинным преобразованием. Наличие ограниченного числа классов подобия в методах итеративной субдивизии имеет большое значение для вычислительного моделирования и симуляции. Это снижает вариативность форм и размеров генерируемых тетраэдров, предотвращая образование сильно нерегулярных элементов, которые могут повлиять на достоверность результатов симуляции. Итеративная LEB регулярного тетраэдра, как показано, производит только 8 классов подобия. Кроме того, в случае почти равносторонних тетраэдров, у которых два самых длинных ребра не соединены друг с другом, и отношение между их самым длинным и самым коротким ребром меньше или равно , итеративная LEB производит не более 37 классов подобия.

Разделитель объема

Любая плоскость, содержащая бимедиану (соединитель середин противоположных рёбер) тетраэдра, делит объем тетраэдра пополам.

Неевклидово объем

Для тетраэдров в гиперболическом пространстве или в трехмерной эллиптической геометрии двугранные углы тетраэдра определяют его форму и, следовательно, его объем. В этих случаях объем задается формулой Мураками — Яно. Однако в евклидовом пространстве масштабирование тетраэдра изменяет его объем, но не двугранные углы, поэтому подобная формула невозможна.

Расстояние между краями

Любые две противоположные стороны тетраэдра лежат на двух скрещивающихся прямых, и расстояние между сторонами определяется как расстояние между этими скрещивающимися прямыми. Пусть d — расстояние между скрещивающимися прямыми, образованными противоположными сторонами a и b − c, вычисленное здесь. Тогда другая формула для вычисления объема имеет вид:

Центроид

Центр масс тетраэдра вычисляется как среднее арифметическое его четырех вершин, см. Центроид.

Лица

Сумма площадей любых трех граней больше площади четвертой грани. Тетраэдр может иметь целочисленный объем и последовательные целые числа в качестве ребер, например, тетраэдр с ребрами 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объемом 48.

Связанные полиэдра и соединения

Регулярный тетраэдр можно рассматривать как треугольную пирамиду. Регулярный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный полиэдр, равномерную дигональную антипризму, где базовые многоугольники – редуцированные дигоны. Регулярный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный полиэдр, равномерный двойной дигональный трапецоэдр, содержащий 6 вершин, в двух наборах коллинеарных рёбер. Процесс усечения, применяемый к тетраэдру, порождает серию однородных полиэдров. Усечение рёбер до точек даёт октаэдр, являющийся ректифицированным тетраэдром. Процесс завершается биректификацией, редуцирующей исходные грани до точек и вновь создающей самодвойственный тетраэдр. Этот многогранник топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3,n}, продолжающейся в гиперболическую плоскость. Тетраэдр топологически связан с рядом правильных многогранников и мозаик с вершинными фигурами порядка 3. Интересный многогранник можно построить из пяти пересекающихся тетраэдров. Это соединение из пяти тетраэдров известно уже сотни лет. Оно часто встречается в мире оригами. Соединение двадцати вершин образует правильный додекаэдр. Существуют лево- и правовинные формы, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. Наложение обеих форм даёт соединение из десяти тетраэдров, в котором десять тетраэдров расположены как пять пар звездных восьмигранников. Стелла октанга – это соединение двух тетраэдров в двойственном положении, и её восемь вершин определяют куб как выпуклую оболочку. Квадратный хозоэдр – это другой многогранник с четырьмя гранями, но он не имеет треугольных граней. Полиэдр Силасси и тетраэдр – единственные два известных многогранника, в которых каждая грань имеет общий край с каждой другой гранью. Кроме того, полиэдр Цасара (который сам является двойственным к полиэдру Силасси) и тетраэдр – единственные два известных многогранника, в которых каждая диагональ лежит на гранях.

Численный анализ

В численном анализе сложные трехмерные объекты часто разбиваются на или аппроксимируются полигональной сеткой из неправильных тетраэдров при построении уравнений для метода конечных элементов, особенно при численном решении уравнений в частных производных. Эти методы широко используются на практике в вычислительной гидродинамике, аэродинамике, электромагнетизме, строительной инженерии, химической инженерии, кораблестроении и соответствующих областях.

Строительство

Тетраэдр с жёсткими рёбрами обладает внутренней жёсткостью. Именно поэтому он часто используется для усиления каркасных конструкций, таких как пространственные фермы.

Авиация

На некоторых аэродромах на вращающемся основании устанавливается большая рама в форме тетраэдра, две стороны которой покрыты тонким материалом, и она всегда направлена по ветру. Она достаточно велика, чтобы быть видимой с воздуха, и иногда подсвечивается. Её назначение – служить пилотам указателем направления ветра.

Химия

Форма тетраэдра встречается в природе в ковалентно связанных молекулах. Все sp3-гибридизированные атомы окружены атомами (или неподеленными электронными парами) в четырех вершинах тетраэдра. Например, в молекуле метана или ионе аммония (NH4+) четыре атома водорода окружают центральный атом углерода или азота, образуя тетраэдрическую симметрию. Именно поэтому один из ведущих журналов по органической химии называется "Тетраэдр". Центральный угол между любыми двумя вершинами идеального тетраэдра равен arccos(−1/3), или приблизительно 109,47°. Поскольку кремний является наиболее распространенным полупроводником, используемым в твердотельной электронике, а его валентность равна четырем, тетраэдрическая форма четырех химических связей кремния оказывает значительное влияние на то, как формируются кристаллы кремния и какие формы они приобретают.

Цветовое пространство

Тетраэдры используются в алгоритмах преобразования цветовых пространств, особенно в тех случаях, когда ось яркости диагонально разделяет цветовое пространство (например, RGB, CMY).

Игры

Королевская игра Ур, датируемая 2600 годом до н.э., игралась с набором тетраэдрических игральных костей. Особенно в ролевых играх, эта геометрическая фигура известна как четырехгранная кость, одна из наиболее распространенных многогранников, используемых в качестве игральной кости, при этом выпавшее число отображается на нижней или верхней вершине. Некоторые головоломки, подобные кубику Рубика, имеют тетраэдрическую форму, например, Пираминкс и Пираморфикс.

Геология

Гипотеза о тетраэдрической структуре, первоначально опубликованная Уильямом Лоутианом Грином для объяснения формирования Земли, была популярна в начале XX века.

Популярная культура

Стэнли Кубрик изначально планировал, чтобы монолит в фильме «2001 год: Космическая одиссея» имел форму тетраэдра, как рассказал Марвин Мински, когнитивный ученый и эксперт в области искусственного интеллекта, который консультировал Кубрика по поводу компьютера HAL 9000 и другим аспектам фильма. Кубрик отказался от этой идеи, поскольку один из зрителей, увидевший отрывок с тетраэдром, не смог его идентифицировать, и Кубрик не хотел включать в фильм элементы, которые были бы непонятны обычному зрителю.