Введение
Отображение из евклидова пространства в само себя, отражение в геометрии.
reflection in geometry
В математике отражение (также пишется рефлексия) — это отображение из евклидова пространства в себя, являющееся изометрией с гиперплоскостью в качестве множества неподвижных точек; это множество называется осью (в двумерном пространстве) или плоскостью (в трехмерном пространстве) отражения. Изображение фигуры при отражении является её зеркальным отображением относительно оси или плоскости отражения. Например, зеркальное отображение строчной латинской буквы p при отражении относительно вертикальной оси (вертикальном отражении) будет выглядеть как q. Её изображение при отражении относительно горизонтальной оси (горизонтальном отражении) будет выглядеть как b. Отражение — это инволюция: при двукратном последовательном применении каждая точка возвращается в своё исходное положение, а каждый геометрический объект восстанавливается в своё первоначальное состояние. Термин «отражение» иногда используется для обозначения более широкого класса отображений из евклидова пространства в себя, а именно нетождественных изометрий, являющихся инволюциями. Такие изометрии имеют множество неподвижных точек («зеркало»), которое является аффинным подпространством, но может быть меньше гиперплоскости. Например, отражение относительно точки — это инволюционная изометрия, имеющая только одну неподвижную точку; изображение буквы p при таком отражении будет выглядеть как d. Эта операция также известна как центральная инверсия и представляет евклидово пространство как симметричное пространство. В евклидовом векторном пространстве отражение относительно точки, расположенной в начале координат, эквивалентно отрицанию вектора. Другие примеры включают отражения относительно прямой в трёхмерном пространстве. Однако, как правило, употребление термина «отражение» без дополнительных уточнений подразумевает отражение относительно гиперплоскости. Некоторые математики используют термин «переворот» как синоним «отражение».
would look like a d. This operation is also known as a central inversion , and exhibits Euclidean space as a symmetric space. In a Euclidean vector space, the reflection in the point situated at the origin is the same as vector negation. Other examples include reflections in a line in three dimensional space. Typically, however, unqualified use of the term "reflection" means reflection in a hyperplane. Some mathematicians use "flip" as a synonym for "reflection".
Свойства
Матрица отражения ортогональна, имеет детерминант −1 и собственные значения −1, 1, 1, 1. Произведение двух таких матриц является специальной ортогональной матрицей, представляющей вращение. Любое вращение является результатом отражения в четном количестве гиперплоскостей, проходящих через начало координат, а любое несобственное вращение – результатом отражения в нечетном количестве таких гиперплоскостей. Таким образом, отражения порождают ортогональную группу, и этот результат известен как теорема Картана — Диодонне. Аналогично, группа Евклида, состоящая из всех изометрий евклидова пространства, порождается отражениями в аффинных гиперплоскостях. В общем случае, группа, порожденная отражениями в аффинных гиперплоскостях, называется группой отражений. Конечные группы, порожденные таким образом, являются примерами групп Коксетера.