Функциональное интегрирование: от теории к практике

Введение

Интеграция в пространстве функций

Функциональная интеграция — это совокупность результатов в математике и физике, где область интегрирования — не область пространства, а пространство функций. Функциональные интегралы возникают в теории вероятностей, в изучении частных дифференциальных уравнений и в интегральном представлении квантовой механики частиц и полей. В обычном интеграле (в смысле интеграла Лебега) есть функция, которую необходимо проинтегрировать (подынтегральное выражение), и область пространства, по которой интегрируется функция (область интегрирования). Процесс интегрирования заключается в суммировании значений подынтегрального выражения для каждой точки области интегрирования. Чтобы сделать эту процедуру строгой, требуется предельный переход, при котором область интегрирования разбивается на все более мелкие области. Для каждой малой области значение подынтегрального выражения не может существенно меняться, поэтому его можно заменить одним значением. В функциональном интеграле областью интегрирования является пространство функций. Для каждой функции подынтегральное выражение возвращает значение, которое нужно суммировать. Обеспечение строгости этой процедуры представляет собой сложную задачу, которая продолжает оставаться предметом текущих исследований. Функциональная интеграция была разработана Перси Джоном Дэниеллом в статье 1919 года и Норбертом Винером в серии работ, кульминацией которых стали его статьи 1921 года о броуновском движении. Они разработали строгий метод (ныне известный как мера Винера) для присвоения вероятности случайной траектории частицы. Ричард Фейнман разработал другой функциональный интеграл — интеграл по траекториям, полезный для вычисления квантовых свойств систем. В интеграле по траекториям Фейнмана классическое представление об уникальной траектории частицы заменяется бесконечной суммой классических траекторий, каждая из которых имеет свой вес в соответствии со своими классическими свойствами. Функциональная интеграция играет центральную роль в методах квантования в теоретической физике. Алгебраические свойства функциональных интегралов используются для построения рядов, применяемых для вычисления свойств в квантовой электродинамике и Стандартной модели физики частиц.

Functional integration is a collection of results in mathematics and physics where the domain of an integral is no longer a region of space, but a space of functions. Functional integrals arise in probability, in the study of partial differential equations, and in the path integral approach to the quantum mechanics of particles and fields. In an ordinary integral (in the sense of Lebesgue integration) there is a function to be integrated (the integrand) and a region of space over which to integrate the function (the domain of integration). The process of integration consists of adding up the values of the integrand for each point of the domain of integration. Making this procedure rigorous requires a limiting procedure, where the domain of integration is divided into smaller and smaller regions. For each small region, the value of the integrand cannot vary much, so it may be replaced by a single value. In a functional integral the domain of integration is a space of functions. For each function, the integrand returns a value to add up. Making this procedure rigorous poses challenges that continue to be topics of current research. Functional integration was developed by Percy John Daniell in an article of 1919 and Norbert Wiener in a series of studies culminating in his articles of 1921 on Brownian motion. They developed a rigorous method (now known as the Wiener measure) for assigning a probability to a particle's random path. Richard Feynman developed another functional integral, the path integral, useful for computing the quantum properties of systems. In Feynman's path integral, the classical notion of a unique trajectory for a particle is replaced by an infinite sum of classical paths, each weighted differently according to its classical properties. Functional integration is central to quantization techniques in theoretical physics. The algebraic properties of functional integrals are used to develop series used to calculate properties in quantum electrodynamics and the standard model of particle physics.

Подходы к интегралам пути

Функциональные интегралы, пространство интегрирования которых состоит из траекторий (ν = 1), могут быть определены множеством различных способов. Эти определения можно разделить на два основных класса: построения, основанные на теории Винера, приводят к интегралу, основанному на мере, в то время как построения, следующие за интегралом по траекториям Фейнмана, – нет. Даже внутри этих двух широких категорий интегралы не совпадают, то есть они определяются по-разному для различных классов функций.