Введение

Топологическое пространство, являющееся максимально несвязным.

В топологии и смежных областях математики, тотально несвязное пространство — это топологическое пространство, единственными связными подмножествами которого являются одноэлементные множества. В любом топологическом пространстве одноэлементные множества (и, когда рассматривается связность, пустое множество) являются связными; в тотально несвязном пространстве это единственные связные подмножества. Важным примером тотально несвязного пространства является множество Кантора, которое гомеоморфно множеству p-адических целых чисел. Другим примером, играющим ключевую роль в алгебраической теории чисел, является поле Qp p-адических чисел.

Определение

Топологическое пространство называется совершенно несвязным, если его связные компоненты являются одноточными множествами. Аналогично, топологическое пространство называется совершенно несвязным по путям, если все его псевдокомпоненты пути являются одноточными множествами. Другое тесно связанное понятие — совершенно разделенное пространство, то есть пространство, в котором квазикомпоненты являются синглетонами. То есть, топологическое пространство называется совершенно разделенным, если для любого , пересечение всех кли открытых окрестностей является синглетоном. Эквивалентно, для каждой пары различных точек , существует пара непересекающихся открытых окрестностей таких, что . Каждое совершенно разделенное пространство очевидно совершенно несвязно, но обратное неверно даже для метрических пространств. Например, рассмотрим канторовский шатер, который представляет собой веер Кнастера — Куратовского с удаленной вершиной. Тогда он совершенно несвязен, но его квазикомпоненты не являются синглетонами. Для локально компактных пространств Хаусдорфа эти два понятия (совершенно несвязное и совершенно разделенное) эквивалентны. Сбивая с толку, в литературе совершенно несвязные пространства иногда называют наследственно несвязными, в то время как термин совершенно несвязный используется для совершенно разделенных пространств.

Свойства

Подпространства, произведения и копроизведения полностью разрывных пространств являются полностью разрывными. Полностью разрывные пространства являются пространствами T1, поскольку одноэлементные множества замкнуты. Непрерывные образы полностью разрывных пространств не обязательно являются полностью разрывными; фактически, каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора. Локально компактное хаусдорфово пространство имеет малую индуктивную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно полностью разрывно. Каждое полностью разрывное компактное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретных пространств. В общем случае неверно, что каждое открытое множество в полностью разрывном пространстве также замкнуто. В общем случае неверно, что замыкание каждого открытого множества в полностью разрывном пространстве открыто, то есть не каждое полностью разрывное хаусдорфово пространство является экстремально разрывным.

Построение полностью отключенного пространства-квозианта любого данного пространства

Пусть X — произвольное топологическое пространство. Пусть x ~ y тогда и только тогда, когда x принадлежит наибольшему связному подмножеству, содержащему y (где обозначает наибольшее связное подмножество, содержащее). Это очевидно отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого являются связными компонентами X. Наделим множество этих классов частноотносительной топологией, то есть наитончайшую топологию, делающую отображение p: X → X/ ~ непрерывным. Несложно убедиться, что X/ ~ совершенно несвязно. Более того, это пространство не только некоторое совершенно несвязное пространство, но в определенном смысле наибольшее: выполняется следующее универсальное свойство: для любого совершенно несвязного пространства Y и любого непрерывного отображения f: Y → X, существует единственное непрерывное отображение g: Y → X/ ~ такое, что f = p ∘ g.