Введение

Результат разбиения элементов алгебраической структуры посредством отношения эквивалентности
коэффициентные ассоциативные алгебры над кольцом
В математике, фактор-алгебра – это результат разбиения элементов алгебраической структуры с помощью отношения соответствия. Фактор-алгебры также называются частными алгебрами. Здесь отношение соответствия должно быть отношением эквивалентности, которое дополнительно согласовано со всеми операциями алгебры в формальном смысле, описанном ниже. Его классы эквивалентности разбивают элементы данной алгебраической структуры. Фактор-алгебра имеет эти классы в качестве своих элементов, а условия согласованности используются для наделения классов алгебраической структурой. Идея фактор-алгебры обобщает в единое понятие фактор-структуру фактор-колец теории колец, фактор-групп теории групп, фактор-пространств линейной алгебры и фактор-модулей теории представлений в общую структуру.

Совместимое родство

Пусть A — множество элементов алгебры, а E — отношение эквивалентности на множестве A. Отношение E называется совместимым с (или обладающим свойством подстановки относительно) n-арной операции f, если из следует для любых . Отношение эквивалентности, совместимое со всеми операциями алгебры, называется конгруэнтностью относительно этой алгебры.

Квотиентные алгебры и гомоморфизмы

Любое отношение эквивалентности E в множестве A разбивает это множество на классы эквивалентности. Множество этих классов эквивалентности обычно называется фактормножеством и обозначается A/E. Для алгебры , легко определить операции, индуцированные на элементы A/E, если E является отношением конгруэнтности. В частности, для любой операции арности в (где верхний индекс просто указывает, что это операция в , а нижний индекс нумерует функции в и их арности) определим как , где обозначает класс эквивалентности элемента по отношению к E ("x по модулю E"). Для алгебры , при заданном отношении конгруэнтности E на , алгебра называется фактор-алгеброй (или частной алгеброй) по модулю E. Существует естественный гомоморфизм из в , отображающий каждый элемент в его класс эквивалентности. Фактически, каждый гомоморфизм h определяет отношение конгруэнтности через ядро гомоморфизма.

Для алгебры , гомоморфизм h таким образом определяет две алгебры, гомоморфные , а именно образ h и . Эти две алгебры изоморфны, результат известен как теорема об гомоморфном образе или как первая теорема об изоморфизме для универсальной алгебры. Формально, пусть будет сюръективным гомоморфизмом. Тогда существует единственный изоморфизм g из на такой, что композиция g с естественным гомоморфизмом, индуцированным , равна h.

Конгруэнтная решетка

Для каждой алгебры на множестве A, отношение тождества на A и являются тривиальными конгруэнциями. Алгебра, не имеющая других конгруэнций, называется простой. Пусть 𝒯 будет множеством конгруэнций на алгебре A. Поскольку конгруэнции замкнуты относительно пересечения, мы можем определить операцию meet: ∧, просто беря пересечение конгруэнций. С другой стороны, конгруэнции не замкнуты относительно объединения. Однако мы можем определить замыкание любого бинарного отношения E относительно фиксированной алгебры A так, чтобы оно стало конгруэнцией, следующим образом: Обратите внимание, что замыкание бинарного отношения является конгруэнцией и, таким образом, зависит от операций в A, а не только от множества-носителя. Теперь определим ∨ как
Для каждой алгебры A, (𝒯, ∧, ∨) с двумя операциями, определенными выше, образует решетку, называемую решеткой конгруэнций алгебры A.