Введение

Поверхность, созданная вращением кривой вокруг оси.

Поверхность вращения — это поверхность в евклидовом пространстве, созданная вращением кривой (генератрисы) на один полный оборот вокруг оси вращения (обычно не пересекающей генератрису, за исключением её конечных точек). Объем, ограниченный поверхностью, образованной этим вращением, называется телом вращения. Примерами поверхностей вращения, генерируемых прямой линией, являются цилиндрические и конические поверхности, в зависимости от того, параллельна ли прямая оси вращения. Круг, вращающийся вокруг любого диаметра, образует сферу, являющуюся для него большой окружностью, а если круг вращается вокруг оси, не пересекающей его внутреннюю область, то он образует торус, не имеющий самопересечений (кольцевой торус).

Свойства

Секции поверхности вращения, сделанные плоскостями, проходящими через ось, называются меридиональными сечениями. Любое меридиональное сечение можно рассматривать как образующую в плоскости, определяемой этим сечением и осью. Секции поверхности вращения, сделанные плоскостями, перпендикулярными оси, являются окружностями. Некоторые частные случаи гиперболоидов (одного или двух полотнищ) и эллиптических параболоидов являются поверхностями вращения. Их можно идентифицировать как квадратичные поверхности, все поперечные сечения которых перпендикулярны оси, являются окружностями.

Координаты

Поверхность вращения, полученная вращением кривой, заданной уравнением , вокруг оси x, может быть наиболее просто описана как . Это дает параметризацию в терминах и как . Если же вращать кривую вокруг оси y, то кривая описывается уравнением , что приводит к выражению в терминах параметров и .

Если x и y заданы в терминах параметра , то мы получаем параметризацию в терминах и . Если x и y являются функциями , то поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси x, описывается как , а поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси y, описывается как .

Геодезические устройства

Меридианы всегда являются геодезическими на поверхности вращения. Другие геодезические подчиняются соотношению Клерё.

Тороиды

Поверхность вращения с отверстием, у которой ось вращения не пересекает поверхность, называется тороидом. Например, при вращении прямоугольника вокруг оси, параллельной одной из его сторон, образуется полый кольцевой профиль квадратного сечения. Если вращаемая фигура представляет собой круг, то объект называется тором.