Введение

Тип метрического пространства
В математике ультраметрическое пространство — это метрическое пространство, в котором неравенство треугольника усилено до для всех , , и . Иногда соответствующую метрику также называют неархимедовой метрикой или суперметрикой.

Примеры

Дискретная метрика является ультраметрикой. p-адические числа образуют полное ультраметрическое пространство. Рассмотрим множество слов произвольной длины (конечной или бесконечной), Σ*, над некоторым алфавитом Σ. Определим расстояние между двумя различными словами как 2−n, где n — первая позиция, в которой слова различаются. Полученная метрика является ультраметрикой. Множество слов с "склеенными" концами длины n над некоторым алфавитом Σ является ультраметрическим пространством относительно p-близкого расстояния. Два слова x и y p-близки, если любая подстрока из p последовательных букв (p < n) встречается одинаковое количество раз (включая ноль) как в x, так и в y. Если r = (rn) — последовательность действительных чисел, убывающая к нулю, то |x|r := lim supn→∞ |xn|rn индуцирует ультраметрику на пространстве всех комплексных последовательностей, для которых она конечна. (Обратите внимание, что это не полунорма, поскольку ей не хватает однородности. Если rn может быть равно нулю, следует использовать здесь довольно необычное соглашение, что 0⁰ = 0.) Если G — взвешенный неориентированный граф, все веса ребер положительны, и d(u, v) — вес минимаксного пути между u и v (то есть наибольший вес ребра на пути, выбранном для минимизации этого наибольшего веса), то вершины графа, с расстоянием, измеренным с помощью d, образуют ультраметрическое пространство, и все конечные ультраметрические пространства могут быть представлены таким образом.

Приложения

Сокращение отображения можно рассматривать как способ приближения конечного результата вычисления (существование которого гарантируется теоремой о неподвижной точке Банаха). Схожие идеи встречаются в теории доменов. В p-адическом анализе активно используется ультраметрический характер p-адической метрики. В физике конденсированного состояния самоусредняющееся перекрытие между спинами в модели СК спиновых стекол демонстрирует ультраметрическую структуру, решение которой получается с помощью процедуры полного нарушения репликационной симметрии, впервые предложенной Джорджио Паризи и его коллегами. Ультраметричность также проявляется в теории апериодических твердых тел. В таксономии и построении филогенетических деревьев ультраметрические расстояния используются методами UPGMA и WPGMA. Эти алгоритмы требуют предположения о постоянной скорости эволюции и строят деревья, в которых расстояния от корня до каждой конечной ветви равны. При анализе данных ДНК, РНК и белков предположение об ультраметричности называют «молекулярными часами». Модели прерывистости в трехмерной турбулентности жидкостей используют так называемые каскады, а в дискретных моделях – диадические каскады, обладающие ультраметрической структурой. В географии и ландшафтной экологии ультраметрические расстояния применяются для измерения сложности ландшафта и оценки относительной важности различных ландшафтных функций.