Пространства модулей в алгебраической геометрии

Введение

Геометрическое пространство, точки которого представляют алгебро-геометрические объекты некоторого фиксированного типа. В математике, в частности в алгебраической геометрии, модульное пространство — это геометрическое пространство (обычно схема или алгебраический стек), точки которого представляют алгебро-геометрические объекты некоторого фиксированного типа или классы изоморфизма таких объектов. Такие пространства часто возникают как решения задач классификации: если удается показать, что множество интересных объектов (например, гладкие алгебраические кривые фиксированного рода) можно наделить структурой геометрического пространства, то эти объекты можно параметризовать, введя координаты на полученном пространстве. В этом контексте термин "модуль" используется как синоним "параметра"; пространства модулей изначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов. Вариантом модульных пространств являются формальные модули. Бернхард Риман впервые использовал термин "модули" в 1857 году.

Мотивация

Пространства модулей — это пространства решений задач геометрической классификации. То есть, точки пространства модулей соответствуют решениям геометрических задач. Различные решения отождествляются, если они изоморфны (то есть геометрически эквивалентны). Пространства модулей можно рассматривать как универсальное пространство параметров для данной задачи. Например, рассмотрим задачу нахождения всех окружностей в евклидовой плоскости с точностью до конгруэнтности. Любую окружность можно однозначно описать, задав три точки, но множество различных троек точек может задавать одну и ту же окружность: соответствие много к одному. Однако окружности однозначно параметризуются заданием их центра и радиуса, что требует двух вещественных и одного положительного вещественного параметра. Поскольку нас интересуют только окружности «с точностью до конгруэнтности», мы отождествляем окружности с разными центрами, но одинаковым радиусом, и, следовательно, радиуса достаточно для параметризации интересующего нас множества. Таким образом, пространство модулей представляет собой множество положительных вещественных чисел. Пространства модулей часто обладают естественными геометрическими и топологическими структурами. В примере с окружностями пространство модулей — это не просто абстрактное множество, но абсолютная величина разности радиусов определяет метрику, позволяющую определить, насколько близки две окружности. Геометрическая структура пространства модулей локально сообщает нам, насколько близки два решения геометрической задачи классификации, но в целом пространства модулей также имеют сложную глобальную структуру. Например, рассмотрим, как описать семейство прямых в R², пересекающих начало координат. Мы хотим сопоставить каждой прямой L из этого семейства величину, однозначно её идентифицирующую — модуль. Примером такой величины является положительный угол θ(L) в диапазоне 0 ≤ θ < π радиан. Семейство прямых L, параметризованное таким образом, известно как P¹(R) и называется вещественной проективной прямой. Мы также можем описать семейство прямых в R², пересекающих начало координат, с помощью топологической конструкции. А именно: рассмотрим единичную окружность S¹ ⊂ R² и заметим, что каждая точка s ∈ S¹ определяет прямую L(s) в семействе (соединяющую начало координат и s). Однако это отображение является двук-к-одному, поэтому мы хотим отождествить s ~ −s, чтобы получить P¹(R) ≅ S¹/~, где топология на этом пространстве является фактортопологией, индуцированной факторным отображением S¹ → P¹(R). Таким образом, рассматривая P¹(R) как пространство модулей прямых, пересекающих начало координат в R², мы фиксируем способы, которыми элементы семейства (в данном случае прямые) могут изменяться посредством непрерывного варьирования 0 ≤ θ < π.

Проективное пространство и грассманны

Реальное проективное пространство Pn — это модульное пространство, параметризующее пространство прямых в Rn+1, проходящих через начало координат. Аналогично, комплексное проективное пространство — это пространство всех комплексных прямых в Cn+1, проходящих через начало координат. В более общем случае, грассманиан G(k, V) векторного пространства V над полем F является модульным пространством всех k-мерных линейных подпространств V.

Проективное пространство как модули очень широких пучков линий, генерируемых глобальными сечениями

Всякий раз, когда схема вложена в универсальное проективное пространство, это вложение задается линейным расслоением и сечениями, которые не обращаются в нуль одновременно. Это означает, что для любой точки существует ассоциированная точка, заданная композицией отображений. Два линейных расслоения с сечениями эквивалентны тогда и только тогда, когда существует изоморфизм, удовлетворяющий условию. Это означает, что ассоциированный модульный функтор отображает схему в множество. Доказать это можно, пройдя через ряд тавтологий: любое проективное вложение задает глобально порожденный пучок с сечениями. И наоборот, заданное достаточное линейное расслоение, глобально порожденное сечениями, определяет вложение, как описано выше.

Сорт Чуа

Разнообразие Чоу Chow(d,P3) — проективное алгебраическое многообразие, параметризующее кривые степени d в P3. Оно строится следующим образом. Пусть C — кривая степени d в P3, тогда рассмотрим все прямые в P3, пересекающие кривую C. Это задает делитель DC степени d в G(2, 4), грассманиане прямых в P3. Когда C меняется, сопоставляя C с DC, мы получаем параметрическое пространство кривых степени d как подмножество пространства делителей степени d грассманиана: Chow(d,P3).

Схема Гильберта

Схема Гильберта Hilb(X) является схемой модулей. Каждая замкнутая точка Hilb(X) соответствует замкнутой подсхеме фиксированной схемы X, и каждая замкнутая подсхема представляется такой точкой. Простым примером схемы Гильберта является схема Гильберта, параметризующая гиперповерхности степени проективного пространства. Она задается проективным расслоением с универсальным семейством, заданным где – соответствующая проективная схема для однородного многочлена степени.

Определения

Существует несколько связанных понятий, которые можно назвать пространствами модулей. Каждое из этих определений формализует различные представления о том, что означает, когда точки пространства M представляют геометрические объекты.

Прекрасные модульные пространства

Это стандартная концепция. Если у нас есть пространство M, для которого каждой точке m ∈ M соответствует алгебро-геометрический объект Um, то мы можем собрать эти объекты в тавтологическое семейство U над M. (Например, грассманиан G(k, V) несет расслоение ранга k, волокно которого в любой точке [L] ∈ G(k, V) является просто линейным подпространством L ⊂ V.) M называется базовым пространством семейства U. Мы говорим, что такое семейство универсально, если любое семейство алгебро-геометрических объектов T над любым базовым пространством B является обратным образом U по единственному отображению B → M. Хорошее модульное пространство – это пространство M, которое является базой универсального семейства. Более точно, предположим, что у нас есть функтор F из схем в множества, который ставит в соответствие схеме B множество всех подходящих семейств объектов с базой B. Пространство M является хорошим модульным пространством для функтора F, если M представляет функтор F, то есть существует естественный изоморфизм τ : F → Hom(−, M), где Hom(−, M) – функтор точек. Это означает, что M несет универсальное семейство; это семейство – семейство на M, соответствующее тождественному отображению 1M ∈ Hom(M, M).

Грубые модульные пространства

Прекрасные модульные пространства желательны, но они не всегда существуют и часто сложны в построении, поэтому математики иногда используют более слабое понятие – идею грубого модульного пространства. Пространство M является грубым модульным пространством для функтора F, если существует естественное преобразование τ : F → Hom(−, M) и τ универсально среди всех таких естественных преобразований. Более конкретно, M является грубым модульным пространством для F, если любая семья T над основанием B порождает отображение φT : B → M, и любые два объекта V и W (рассматриваемые как семьи над точкой) соответствуют одной и той же точке M тогда и только тогда, когда V и W изоморфны. Таким образом, M – это пространство, которое имеет точку для каждого объекта, который может появиться в семье, и геометрия которого отражает способы, которыми объекты могут меняться в семьях. Однако следует отметить, что грубое модульное пространство не обязательно содержит какое-либо семейство подходящих объектов, тем более универсальное. Иными словами, прекрасное модульное пространство включает в себя как базовое пространство M, так и универсальное семейство U → M, в то время как грубое модульное пространство имеет только базовое пространство M.

Стеллажи модулей

Часто бывает так, что интересные геометрические объекты снабжены множеством естественных автоморфизмов. Это, в частности, делает невозможным существование тонкого модульного пространства (интуитивно, идея состоит в том, что если L – некоторый геометрический объект, тривиальное семейство L × [0,1] можно превратить в скрученное семейство на окружности S¹ путем отождествления L × {0} с L × {1} посредством нетривиального автоморфизма. Если бы существовало тонкое модульное пространство X, отображение S¹ → X не должно быть постоянным, но должно быть постоянным на любом собственном открытом множестве в силу тривиальности). Тем не менее, иногда можно получить грубое модульное пространство. Однако этот подход не является идеальным, поскольку существование таких пространств не гарантировано, они часто сингулярны, когда существуют, и упускают детали о некоторых нетривиальных семействах объектов, которые они классифицируют. Более совершенный подход заключается в обогащении классификации путем запоминания изоморфизмов. Более точно, на любой базе B можно рассматривать категорию семейств на B, где морфизмами служат только изоморфизмы между семействами. Затем рассматривается фибрированная категория, которая сопоставляет любому пространству B группоид семейств над B. Использование этих категорий, фибрированных в группоиды, для описания задачи модулей восходит к Гротендику (1960/61). В общем случае, они не могут быть представлены схемами или даже алгебраическими пространствами, но во многих случаях они обладают естественной структурой алгебраического стека. Алгебраические стеки и их использование для анализа задач модулей появились в работе Делиня и Мамфорда (1969) как инструмент для доказательства ирредуктивности (грубого) модульного пространства кривых заданного рода. Язык алгебраических стеков по существу предоставляет систематический способ рассматривать фибрированную категорию, составляющую задачу модулей, как «пространство», и стек модулей многих задач модулей ведет себя лучше (например, гладко), чем соответствующее грубое модульное пространство.

Модули кривых

Стойка модулей классифицирует семейства гладких проективных кривых рода g вместе с их изоморфизмами. Когда g > 1, этот стек можно компактифицировать, добавляя новые "граничные" точки, соответствующие стабильным узловым кривым (вместе с их изоморфизмами). Кривая стабильна, если она имеет только конечную группу автоморфизмов. Полученный стек обозначается . Оба стека модулей несут универсальные семейства кривых. Можно также определить грубые модульные пространства, представляющие классы изоморфизма гладких или стабильных кривых. Эти грубые модульные пространства изучались еще до изобретения понятия стека модулей. Фактически, идея стека модулей была предложена Делинем и Мамфордом в попытке доказать проективность грубых модульных пространств. В последние годы стало очевидно, что стек кривых является более фундаментальным объектом. Оба вышеупомянутых стека имеют размерность 3g−3; следовательно, стабильная узловая кривая может быть полностью задана выбором значений 3g−3 параметров при g > 1. Для меньших родов необходимо учитывать наличие гладких семейств автоморфизмов, вычитая их число. Существует ровно одна комплексная кривая рода нуль — сфера Римана, и ее группа изоморфизмов — PGL(2). Следовательно, размерность равна dim(пространство кривых рода нуль) − dim(группа автоморфизмов) = 0 − dim(PGL(2)) = −3. Аналогично, при роде 1 существует одномерное пространство кривых, но каждая такая кривая имеет одномерную группу автоморфизмов. Следовательно, стек имеет размерность 0. Грубые модульные пространства имеют размерность 3g−3, как и стеки, при g > 1, поскольку кривые с родом g > 1 имеют только конечную группу автоморфизмов, то есть dim(группа автоморфизмов) = 0. В конечном итоге, при роде нуль грубое модульное пространство имеет размерность нуль, а при роде один — размерность один. Можно также расширить задачу, рассмотрев стек модулей узловых кривых рода g с n отмеченными точками. Такие отмеченные кривые считаются стабильными, если подгруппа автоморфизмов кривой, фиксирующая отмеченные точки, является конечной. Полученные стеки модулей гладких (или стабильных) кривых рода g с n отмеченными точками обозначаются (или ) и имеют размерность 3g − 3 + n.

Особый интерес представляет собой стек модулей кривых рода 1 с одной отмеченной точкой. Это стек эллиптических кривых и естественная среда обитания хорошо изученных модулярных форм, которые являются мероморфными сечениями расслоений на этом стеке.

Модули сортов

В более высоких измерениях модули алгебраических многообразий сложнее построить и изучить. Например, аналог модульного пространства эллиптических кривых, рассмотренный выше, в более высоких измерениях — это модульное пространство абелевых многообразий, такое как многообразие Зигеля. Эта проблема лежит в основе теории модулярных форм Зигеля. См. также многообразие Симуры. Используя методы, возникшие в рамках минимальной модели программы, Янош Колла́р и Николас Шепард Баррон построили модульные пространства многообразий общего типа, теперь известные как модульные пространства KSB. Построение модульных пространств многообразий Фано было достигнуто с использованием методов, берущих начало одновременно из дифференциальной и бирациональной геометрии, и путем ограничения рассмотрения специальным классом K-стабильных многообразий. В этом контексте используются важные результаты о конечности многообразий Фано, доказанные Каучером Биркаром, за которые он был удостоен медали Филдса в 2018 году. Построение модульных пространств многообразий Калаби-Яу является важной нерешенной проблемой, и поняты лишь частные случаи, такие как модульные пространства поверхностей K3 или абелевых многообразий.

Модули векторных пучков

Другая важная задача теории модулей — понимание геометрии (различных подстеков) стека модулей Vectn(X) векторных расслоений ранга n на фиксированном алгебраическом многообразии X. Этот стек наиболее тщательно изучен, когда X одномерно, и особенно когда n равно единице. В этом случае грубое модульное пространство является схемой Пикара, которая, как и модульное пространство кривых, изучалась еще до изобретения стеков. Когда расслоения имеют ранг 1 и степень 0, изучение грубого модульного пространства сводится к изучению якобиана. В приложениях к физике число модулей векторных расслоений и тесно связанная с ним задача об определении числа модулей главных G-расслоений оказались важными в теории калибрований.

Объем пространства модулей

Простые геодезические и объемы Вейля — Петерсона модульных пространств бордированных поверхностей Римана.

Методы построения модульных пространств

Современная формулировка задач модулей и определение пространств модулей с точки зрения модульных функторов (или, в более общем случае, категорий, расслоенных над группоидами), и пространств (почти) представляющих их, восходит к Гротендику (1960/61), где он описал общую структуру, подходы и основные проблемы, используя пространства Тейхмюллера в комплексной аналитической геометрии в качестве примера. В этих лекциях, в частности, описывается общий метод построения пространств модулей, заключающийся в предварительной жесткости рассматриваемой задачи модулей. Более точно, существование нетривиальных автоморфизмов классифицируемых объектов делает невозможным существование точного пространства модулей. Однако часто можно рассмотреть модифицированную задачу модулей, классифицирующую исходные объекты вместе с дополнительными данными, выбранными таким образом, чтобы тождественное преобразование было единственным автоморфизмом, сохраняющим также эти дополнительные данные. При подходящем выборе жестких данных модифицированная задача модулей будет иметь (точное) пространство модулей T, которое часто описывается как подмножество подходящей схемы Гильберта или схемы Квотов. Более того, жесткие данные выбираются таким образом, чтобы они соответствовали главному расслоению с алгебраической структурой группы G. Таким образом, можно вернуться от жесткой задачи к исходной, взяв частное по действию G, и задача построения пространства модулей сводится к поиску схемы (или более общего пространства), которая является (в достаточно сильном смысле) частным T/G пространства T по действию G. Последняя задача, как правило, не имеет решения; однако она решается основополагающей геометрической инвариантной теорией (GIT), разработанной Дэвидом Мамфордом в 1965 году, которая показывает, что при подходящих условиях частное действительно существует. Чтобы понять, как это может работать, рассмотрим задачу параметризации гладких кривых рода g > 2. Гладкая кривая вместе с полной линейной системой степени d > 2g эквивалентна замкнутой одномерной подсхеме проективного пространства Pd−g. Следовательно, пространство модулей гладких кривых и линейных систем (удовлетворяющих определенным критериям) может быть вложено в схему Гильберта достаточно высокой размерности проективного пространства. Этот локус H в схеме Гильберта имеет действие PGL(n), которое перемешивает элементы линейной системы; следовательно, пространство модулей гладких кривых затем восстанавливается как частное H по проективной общей линейной группе. Другой общий подход в основном связан с именем Майкла Артина. Здесь идея состоит в том, чтобы начать с объекта, который необходимо классифицировать, и изучить его теорию деформаций. Это означает, что сначала нужно построить бесконечно малые деформации, а затем применить теоремы о пропредставимости, чтобы объединить их в объект над формальным базисом. Далее, обращение к формальной теореме о существовании Гротендика обеспечивает объект желаемого типа над базисом, который является полным локальным кольцом. Этот объект может быть приближен с помощью теоремы об аппроксимации Артина объектом, определенным на конечно порожденном кольце. Спектр этого последнего кольца можно рассматривать как своего рода координатную диаграмму на желаемом пространстве модулей. Соединяя достаточное количество этих диаграмм, мы можем покрыть пространство, но отображение из нашего объединения спектров на пространство модулей, как правило, будет много к одному. Поэтому мы определяем отношение эквивалентности на первом; по сути, две точки эквивалентны, если объекты над каждой из них изоморфны. Это дает схему и отношение эквивалентности, чего достаточно для определения алгебраического пространства (фактически алгебраического стека, если мы будем осторожны), хотя и не всегда схемы.

В физике

Термин "пространство модулей" иногда используется в физике для обозначения пространства модулей вакуумных средних значений набора скалярных полей или пространства модулей возможных фонов струн. Пространства модулей также возникают в физике в топологической теории поля, где интегралы по траекториям Фейнмана могут быть использованы для вычисления чисел пересечений различных алгебраических пространств модулей.

Основные документы

Мамфорд, Дэвид, геометрическая инвариантная теория. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Neue Folge, Band 34. Springer Verlag, Берлин – Нью-Йорк, 1965. vi+145 с.
Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. Геометрическая инвариантная теория. Третье издание. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) / Результаты математики и смежных областей (2), 34. Springer Verlag, Берлин, 1994. xiv+292 с.

Другие ссылки

Пападопулос, Афанасий, ред. (2007), "Справочник по теории Тейхмюллера". Т. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, , ,
Пападопулос, Афанасий, ред. (2009), "Справочник по теории Тейхмюллера". Т. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, , ,
Пападопулос, Афанасий, ред. (2012), "Справочник по теории Тейхмюллера". Т. III, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 17, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, , .