Число 24: Свойства и Значение в Математике и Геометрии

Введение

24 (двадцать четыре) — натуральное число, следующее за 23 и предшествующее 25.

В математике

24 — четное составное число, простыми делителями которого являются 2 и 3. Это первое число вида 2q, где q — нечетное простое число. Это наименьшее число, имеющее ровно восемь положительных делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24; следовательно, это высокосоставное число, обладающее большим количеством делителей, чем любое меньшее число. Кроме того, это избыточное число, поскольку сумма его собственных делителей (36) превышает само число, а также сверхизбыточное число.

В геометрии

24 градуса — это мера центрального и внешнего угла пентадекагона. Икоситетрагон — это правильный многоугольник с 24 сторонами и симметрией Dih24 порядка 48. Он может заполнять плоскую вершину вместе с треугольником и восьмиугольником. 24 — характеристика Эйлера поверхности K3: общая эллиптическая поверхность K3 имеет ровно 24 сингулярных волокна. 24 — порядок октаэдрической группы — группы вращений правильного октаэдра и группы вращений куба. Двойная октаэдрическая группа — это подгруппа 3-сферы S3, состоящая из 24 элементов {±1, ±i, ±j, ±k, (±1±i±j±k)/2} двойной тетраэдрической группы вместе с 24 элементами, содержащимися в ее косете {(±1±i)/√2, (±1±j)/√2, (±1±k)/√2, (±i±j)/√2, (±i±k)/√2, (±j±k)/√2}. Эти два косета образуют вершины самодвойственной 24-ячейки, а две 24-ячейки двойственны друг другу. (См. раздел ниже о 24-ячейке). 24 — количество различных элементов в различных однородных многогранниках. В семействе архимедовых и каталонских многогранников содержится 24 ребер в кубоктаэдре и ромбическом додекаэдре, 24 вершин в ромбикубоктаэдре, усеченном кубе, усеченном октаэдре и скрученном кубе, а также 24 граней в дельтоидном икоситетраэдре, тетракисном гексаэдре, триакисном октаэдре и пентагональном икоситетраэдре. Соединение кубооктаэдра с ромбической двенадцатигранной выпуклой оболочкой является первой звездной формой кубоктаэдра, содержащей в общей сложности 24 ребра. Существует 12 непризматических однородных многогранниковых соединений (UC01, UC03, UC08, UC10, UC12, UC30, UC42, UC46, UC48, UC50, UC52 и UC54) и 12 однородных звездных многогранников (U03, U13, U14, U15, U17, U18, U19, U21, U36, U37, U41 и U58) с числом вершин, ребер или граней, равным 24. Большой дирхомбидодекаэдр, также называемый фигурой Скиллинга, является вырожденным однородным звездным многогранником с характеристикой Эйлера 24, если пары совпадающих ребер считаются одним ребром. Наконец, 6 тел Джонсона (J17, J27, J37, J45, J61 и J90) также имеют число вершин, ребер или граней, равное 24. Псевдо-большой ромбикубококтаэдр, один из двух известных псевдо-однородных многогранников наряду с удлиненной квадратной гиробикуполой (J37), имеет 24 вершины. Тессеракт имеет 24 двумерных грани (все из которых являются квадратами). Его двойственный четырехмерный политоп — 16-ячейка, которая имеет 24 ребра. 24-ячейка, состоящая из 24 октаэдрических ячеек и 24 вершин, является самодвойственным выпуклым правильным 4-мерным политопом. Она обладает 576 (24×24) вращательными симметриями и в общей сложности 1152 изометриями. Она заполняет четырехмерное пространство в виде 24-ячеечного сота, в котором каждая 24-ячейка окружена 24 другими 24-ячейками. Вершины 24-ячеечного сота можно выбрать таким образом, чтобы в 4-мерном пространстве, отождествляемом с кольцом кватернионов, они точно соответствовали элементам подкольца (кольца «кватернионов Хурвица») порожденного двойной тетраэдрической группой, представленного множеством из 24 кватернионов в решетке D4. Этот набор из 24 кватернионов образует набор вершин одной 24-ячейки, все лежащие на сфере S3 радиуса один с центром в начале координат. S3 — это группа Ли Sp(1) единичных кватернионов (изоморфная группам Ли SU(2) и Spin(3)), поэтому двойная тетраэдрическая группа порядка 24 является подгруппой S3. 24 вершины 24-ячейки содержатся в регулярном комплексном полигоне 4{3}4, или порядке симметрии 1152, а также 24 ребра 4 из 24 октаэдрических ячеек (всего 48). Его представление в плоскости Коксетера F4 содержит два кольца по 12 вершин в каждом. Усечения, рунцинации и омнитрунцинации 24-ячейки дают 4-мерные политопы, чьи полигоны Петри являются 24-сторонними икоситетрагонами, то есть в усеченной 24-ячейке, рунцинированной 24-ячейке и омнитрунцинированной 24-ячейке и других. 24 — число поцелуев в 4-мерном пространстве: максимальное количество единичных сфер, которые могут одновременно касаться другой единичной сферы, не перекрываясь. (Центры 24 таких сфер образуют вершины 24-ячейки). Решетка Барнса — Уолла содержит 24 решетки. В 24 измерениях существует 24 четных положительно определенных унимодулярных решеток, называемых решетками Нимейера. Одной из них является исключительная решетка Лича, которая обладает многими удивительными свойствами; благодаря ее существованию ответы на многие проблемы, такие как проблема о числе поцелуев и проблема о наиболее плотной упаковке сфер решеткой, известны в 24 измерениях, но не во многих более низких измерениях. Решетка Лича тесно связана с двоичным кодом Голея длины 24 и системой Штайнера S(5,8,24) и группой Матье M24. (Одна конструкция решетки Лича возможна, потому что 12 + 22 + 32 + 242 = 702.) 24 — порядок циклической группы, равный устойчивому 3-му стеблю в гомотопических группах сфер: πn+3(Sn) = Z/24Z для всех n ≥ 5.

24 degrees is the measure of the central angle and external angle of a pentadecagon. An icositetragon is a regular polygon with 24 sides and Dih24 symmetry of order 48. It can fill a plane vertex alongside a triangle and octagon. 24 is the Euler characteristic of a K3 surface: a general elliptic K3 surface has exactly 24 singular fibers. 24 is the order of the octahedral group — the group of rotations of the regular octahedron and the group of rotations of the cube. The binary octahedral group is a subgroup of the 3 sphere S3 consisting of the 24 elements {±1, ±i, ±j, ±k, (±1±i±j±k)/2} of the binary tetrahedral group along with the 24 elements contained in its coset {(±1±i)/√2, (±1±j)/√2, (±1±k)/√2, (±i±j)/√2, (±i±k)/√2, (±j±k)/√2}. These two cosets each form the vertices of a self dual 24 cell, and the two 24 cells are dual to each other. (See point below on 24 cell). 24 is the count of different elements in various uniform polyhedron solids. Within the family of Archimedean and Catalan solids, there are 24 edges in a cuboctahedron and rhombic dodecahedron, 24 vertices in a rhombicuboctahedron, truncated cube, truncated octahedron, and snub cube, as well as 24 faces in a deltoidal icositetrahedron, tetrakis hexahedron, triakis octahedron, and pentagonal icositetrahedron. The cube octahedron compound, with a rhombic dodecahedral convex hull, is the first stellation of the cuboctahedron, with a total of 24 edges. There are 12 non prismatic uniform polyhedron compounds (UC01, UC03, UC08, UC10, UC12, UC30, UC42, UC46, UC48, UC50, UC52, and UC54) and 12 uniform star polyhedra (U03, U13, U14, U15, U17, U18, U19, U21, U36, U37, U41, and U58) with a vertex, edge, or face count of 24. The great disnub dirhombidodecahedron, also called Skilling's figure, is a degenerate uniform star polyhedron with a Euler characteristic of 24, when pairs of coinciding edges are considered to be single edges. Finally, 6 Johnson solids (J17, J27, J37, J45, J61, and J90) also have vertex, edge, or face counts of 24. The pseudo great rhombicuboctahedron, one of two known pseudo uniform polyhedra alongside the elongated square gyrobicupola (J37), has 24 vertices. The tesseract has 24 two dimensional faces (which are all squares). Its dual four dimensional polytope is the 16 cell, which has 24 edges. The 24 cell, with 24 octahedral cells and 24 vertices, is a self dual convex regular 4 polytope. It possesses 576 (24×24) rotational symmetries and 1152 isometries altogether. It tiles 4 dimensional space in a 24 cell honeycomb, in which each 24 cell is surrounded by 24 24 cells. The vertices of the 24 cell honeycomb can be chosen so that in 4 dimensional space, identified with the ring of quaternions, they are precisely the elements of the subring (the ring of "Hurwitz integral quaternions") generated by the binary tetrahedral group as represented by the set of 24 quaternions in the D4 lattice. This set of 24 quaternions forms the set of vertices of a single 24 cell, all lying on the sphere S3 of radius one centered at the origin. S3 is the Lie group Sp(1) of unit quaternions (isomorphic to the Lie groups SU(2) and Spin(3)), and so the binary tetrahedral group — of order 24 — is a subgroup of S3. The 24 vertices of the 24 cell are contained in the regular complex polygon 4{3}4, or of symmetry order 1152, as well as 24 4 edges of 24 octahedral cells (of 48). Its representation in the F4 Coxeter plane contains two rings of 12 vertices each. Truncations, runcinations, and omnitruncations of the 24 cell yield 4 dimensional polytopes whose Petrie polygons are 24 sided icositetragons; i. e., within the truncated 24 cell, runcinated 24 cell, and omnitruncated 24 cell, amongst others. 24 is the kissing number in 4 dimensional space: the maximum number of unit spheres that can all touch another unit sphere without overlapping. (The centers of 24 such spheres form the vertices of a 24 cell). The Barnes–Wall lattice contains 24 lattices. In 24 dimensions there are 24 even positive definite unimodular lattices, called the Niemeier lattices. One of these is the exceptional Leech lattice which has many surprising properties; due to its existence, the answers to many problems such as the kissing number problem and densest lattice sphere packing problem are known in 24 dimensions but not in many lower dimensions. The Leech lattice is closely related to the equally nice length 24 binary Golay code and the Steiner system S(5,8,24) and the Mathieu group M24. (One construction of the Leech lattice is possible because 12 + 22 + 32 + + 242 = 702.) 24 is the order of the cyclic group equal to the stable 3 stem in homotopy groups of spheres: n+3(Sn) = Z/24Z for all n ≥ 5.

В науке

Атомный номер хрома. Среднее количество часов в сутках (на Земле), также известное как средние солнечные сутки. 24! является приближением (превышающим примерно на 3%) числа Авогадро. 24 дм³ – объем одного моля любого газа при комнатной температуре и давлении.

В религии

Количество книг в Танахе. В христианской апокалиптической литературе это число символизирует полную Церковь, представляющую собой сумму 12 колен Израиля и 12 Апостолов Агнца Божия. Например, в Книге Откровения: "Вокруг престола было двадцать четыре престола, и на престолах сидели двадцать четыре старца, одетые в белые одежды и с золотыми венцами на головах". Число тиртханкаров в джайнизме. Количество спиц в чакре Ашока.

В музыке

В западной тональной музыке существует в общей сложности 24 мажорных и минорных тональности, не считая энагармонических эквивалентов. Следовательно, для собраний произведений, написанных в каждой тональности, количество произведений в таком собрании будет равно 24, как, например, в 24 прелюдиях Шопена.