Введение

В математике, отношение эквивалентности на n-многообразии.

В математике (дифференциальной геометрии) листвование – это отношение эквивалентности на n-многообразии, классы эквивалентности которого являются связными, инъективно погруженными подмногообразиями, все одной и той же размерности p, моделируемыми разложением реального координатного пространства Rn в косеты x + Rp стандартно вложенного подпространства Rp. Классы эквивалентности называются листьями листвования. Если требуется, чтобы многообразие и/или подмногообразия имели кусочно-линейную, дифференцируемую (класса Cr) или аналитическую структуру, то определяются соответственно кусочно-линейные, дифференцируемые или аналитические листвования. В наиболее важном случае дифференцируемого листвования класса Cr обычно подразумевается, что r ≥ 1 (в противном случае C0 является топологическим листвованием). Число p (размерность листьев) называется размерностью листвования, а q = n − p – его коразмерностью. В некоторых работах по общей теории относительности, выполненных математическими физиками, термин "листвование" (или "разрез") используется для описания ситуации, когда соответствующее многообразие Лоренца (пространство-время размерности (p+1)) разложено на гиперповерхности размерности p, заданные как множества уровней гладкой вещественнозначной функции (скалярного поля), градиент которой везде отличен от нуля; эта гладкая функция, кроме того, обычно считается функцией времени, то есть ее градиент везде временной, так что ее множества уровней являются пространственно-подобными гиперповерхностями. В соответствии со стандартной математической терминологией эти гиперповерхности часто называют листьями (или иногда срезами) листвования. Следует отметить, что хотя эта ситуация действительно представляет собой листвование коразмерности 1 в стандартном математическом смысле, примеры этого типа на самом деле глобально тривиальны; в то время как листья (математического) листвования коразмерности 1 всегда локально являются множествами уровней функции, они, как правило, не могут быть выражены таким образом глобально.

В следующем определении рассматриваются координатные карты, принимающие значения в Rp × Rq, что позволяет рассматривать многообразия с границей и (выпуклыми) углами. Листованная карта на n-многообразии M коразмерности q – это пара (U, φ), где U ⊆ M открыто и φ является диффеоморфизмом, представляющим собой прямоугольную окрестность в Rq и прямоугольную окрестность в Rp. Множество Py = φ−1(Bτ × {y}), где Bτ – прямоугольная окрестность, называется пластом этой листованной карты. Для каждого x ∈ Bτ множество Sx = φ−1({x} × Rp) называется трансверсалью листованной карты. Множество ∂τU = φ−1(Bτ × ∂Rq) называется тангенциальной границей U, а ∂U = φ−1(∂Bτ × Rp) – трансверсальной границей U. Листованная карта является базовой моделью для всех листвований, а пласты – это листья. Обозначение Bτ читается как "B тангенциальный", а ∂Bτ – как "B трансверсальный". Существуют различные возможности. Если и Bτ, и ∂Bτ имеют пустую границу, то листованная карта моделирует листвования коразмерности q n-многообразий без границы. Если одна, но не обе этих прямоугольных окрестностей имеют границу, то листованная карта моделирует различные возможности для листвований n-многообразий с границей и без углов. В частности, если ∂Rq ≠ ∅ = ∂Bτ, то ∂U = ∂τU является объединением пластов, и листвование пластами касается границы. Если ∂Bτ ≠ ∅ = ∂Rq, то ∂U = φ−1(∂Bτ × Rp) является объединением трансверсалей, и листвование трансверсально к границе. Наконец, если ∂Rq ≠ ∅ ≠ ∂Bτ, это модель листованного многообразия с углом, разделяющим тангенциальную границу и трансверсальную границу. Удобный способ переформулировать понятие когерентных листованных карт – записать для w ∈ Uα ∩ Uβ.

Обозначение (Uα, φα) часто записывается как (Uα, xα, yα), где xα и yα – координаты.

Пласты и трансверсали, определенные выше на открытых множествах, также открыты. Но можно говорить и о замкнутых пластах и трансверсалях. А именно, если (U, φ) и (W, ψ) – листованные карты, такие что замыкание U ⊆ W и φ = ψ|U, то, если можно показать, что φ(U) переходит в W диффеоморфно, то это можно записать как.

Листованный атлас называется регулярным, если:
для каждого α ∈ A, Uα является компактным подмножеством листованной карты (Wα, ψα) и φα = ψα|Uα;
покрытие {Uα | α ∈ A} локально конечно;
если (Uα, φα) и (Uβ, φβ) – элементы листованного атласа, то внутренность каждого замкнутого пласта P ⊂ Uα ∩ Uβ пересекается не более чем с одним пластом в Uβ.

По свойству (1), координаты xα и yα можно продолжить до координат и на замыкание Uα, и записывается. Свойство (3) эквивалентно требованию, чтобы, если Uα ∩ Uβ ≠ ∅, попеременные изменения координат не зависели от . То есть,

имеет вид

Используя вышеуказанные определения когерентности и регулярности, можно доказать, что каждый листованный атлас имеет когерентное уточнение, которое является регулярным.

Понятие листьев позволяет интуитивно мыслить о листвовании. Для немного более геометрического определения p-мерное листвование n-многообразия M можно рассматривать как просто коллекцию {Ma} попарно непересекающихся, связных, погруженных p-мерных подмногообразий (листьев листвования) M, такую что для каждой точки x в M существует окрестность U, гомеоморфная Rn, содержащая x, такая что каждый лист Ma пересекает U либо в пустом множестве, либо в счетном множестве подпространств, образы которых под φ в Rn являются p-мерными аффинными подпространствами, первые n − p координат которых постоянны. Локально каждое листвование является подмерным, что позволяет дать следующее определение.

Определение. Пусть M и Q – многообразия размерностей n и q ≤ n соответственно, и пусть f : M → Q – подмерное отображение, то есть ранг дифференциала функции (Якобиана) равен q. Из теоремы о неявной функции следует, что f индуцирует листвование коразмерности q на M, где листья определяются как компоненты f−1(x) для x ∈ Q. По лемме Цорна очевидно, что каждый класс когерентности листованных атласов содержит единственный максимальный листованный атлас.

Определение. Листвование коразмерности q и класса Cr на M – это максимальный листованный Cr-атлас коразмерности q на M.

Голономия

Пусть (M, ) – листистый многообразие. Если L – лист и s – путь в L, то представляет интерес поведение листов в окрестности пути s в M. Интуитивно, наблюдатель, находящийся на листе, движется вдоль пути s, следя за всеми близлежащими листьями. По мере продвижения (далее обозначается s(t)), некоторые из этих листьев могут "отслаиваться", удаляясь из поля зрения, другие могут внезапно появляться в поле зрения и асимптотически приближаться к L, третьи могут следовать более или менее параллельно или обходить L сбоку и т.д. Если s – петля, то s(t) многократно возвращается в одну и ту же точку s(t0) при t, стремящемся к бесконечности, и каждый раз все большее количество листьев может закручиваться в поле зрения или выходить из него, и т.д. Это поведение, при соответствующей формализации, называется голономией листинга. Голономия реализуется на листистых многообразиях различными специфическими способами: полная голономическая группа листированных расслоений, голономическая псевдогруппа общих листистых многообразий, зародышевая голономическая группоида общих листистых многообразий, зародышевая голономическая группа листа и инфинитезимальная голономическая группа листа.

Плоское пространство

Рассмотрим n-мерное пространство, расслоенное как произведение подпространств, состоящих из точек, первые n − p координат которых постоянны. Это пространство можно покрыть одной картой. Суть утверждения в том, что листья или пластины R^(p) индексируются R^(n−p). Аналогия очевидна в трех измерениях: двумерные листы книги индексируются (одномерным) номером страницы.

Банки

Довольно тривиальный пример листвований – это произведения , листвованные слоями (Другое листвование M задается ). Более общий класс составляют плоские G-расслоения с многообразием F. Для заданного представления , плоское расслоение Homeo(F) с монодромией ρ задается , где действует на универсальной накрывающей плоскости преобразованиями накрытия, а на F – посредством представления ρ. Плоские расслоения вписываются в структуру волокнистых расслоений. Отображение между многообразиями является волокнистым расслоением, если существует многообразие F, такое что для каждого b ∈ B существует открытое окрестность U, для которой существует гомеоморфизм с , с p1 : U × F → U – проекцией на первый фактор. Волокнистое расслоение порождает листвование по слоям. Его пространство листьев L гомеоморфно B, в частности, L является многообразием Хаусдорфа.

Покрытия

Если M → N – отображение накрытия между многообразиями, а F – фолиация на N, то оно переносится на фолиацию на M. В более общем случае, если отображение является лишь разветвлённым накрытием, причём локус ветвления трансверсален к фолиации, то фолиацию можно перенести обратно.

Группы лжи

Если G — группа Ли, а H — подгруппа Ли, то G расслаивается косетами H. Когда H замкнута в G, факторпространство G/H является гладким (хаусдорфовым) многообразием, превращающим G в расслоение с волокном H и основанием G/H. Это расслоение является главным, со структурной группой H.

Действия группы лжи

Пусть G — группа Ли, действующая гладко на многообразии M. Если действие является локально свободным или свободным, то орбиты G определяют фолиацию M.

Наличие листьев

дало необходимое и достаточное условие для того, чтобы распределение на связном некомпактном многообразии было гомотопно интегрируемому распределению. показал, что любое компактное многообразие с распределением имеет фолиацию той же размерности.