Введение
Изучение объектов, представляющих интерес для арифметики, над бесконечными башнями числовых полей. В теории чисел теория Ивасавы — это изучение объектов, представляющих интерес для арифметики, над бесконечными башнями числовых полей. Она зародилась как теория модулей Галуа идеальных классовых групп, начатая (岩澤 健吉), в рамках теории циклотомических полей. В начале 1970-х годов Барри Мазур рассмотрел обобщения теории Ивасавы на абелевы многообразия. В последнее время (начало 1990-х годов) Ральф Гринберг предложил теорию Ивасавы для мотивов.
In number theory, Iwasawa theory is the study of objects of arithmetic interest over infinite towers of number fields. It began as a Galois module theory of ideal class groups, initiated by (岩澤 健吉), as part of the theory of cyclotomic fields. In the early 1970s, Barry Mazur considered generalizations of Iwasawa theory to abelian varieties. More recently (early 1990s), Ralph Greenberg has proposed an Iwasawa theory for motives.
Связь с p-адным анализом
С этого начала в 1950-х годах была построена значительная теория. Была обнаружена фундаментальная связь между теорией модулей и p-адическими L-функциями, которые были определены в 1960-х годах Куботой и Леопольдтом. Последние исходят из чисел Бернулли и используют интерполяцию для определения p-адических аналогов L-функций Дирихле. Стало ясно, что теория получила возможность продвинуться вперед, опираясь на результаты Куммера, датируемые веком назад, касающиеся регулярных простых чисел. Ивасава сформулировал основную гипотезу теории Ивасавы как утверждение о том, что два метода определения p-адических L-функций (с помощью теории модулей и с помощью интерполяции) должны совпадать, насколько это возможно. Это было доказано для и для всех полностью вещественных числовых полей. Эти доказательства были построены по аналогии с доказательством Кеном Рибетом обратной теоремы Гербранда (так называемая теорема Гербранда — Рибета). Карл Рубин нашёл более элементарное доказательство теоремы Мазура — Уайлса, используя системы Эйлера Коливагина, описанные в и , и впоследствии доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.
Обобщения
Группа Галуа бесконечной башни, исходное поле и тип изучаемого арифметического модуля могут варьироваться. В каждом случае существует основное предположение, связывающее башню с p-адической L-функцией. В 2002 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан заявили о доказательстве основного предположения для GL(2). В 2010 году они разместили препринт.