Введение

Функция, заданная несколькими подфункциями

В математике функция, заданная по частям (также называемая кусочно-определённой функцией, составной функцией или определением по случаям) — это функция, область определения которой разбита на несколько интервалов ("подмножеств"), на каждом из которых функция может быть определена по-разному. Задание функции по частям — это, по сути, способ её определения, а не характеристика самой функции. Свойство функции называется кусочно-выполняемым, если функцию можно задать по частям таким образом, чтобы это свойство выполнялось на каждом подмножестве. Примерами функций с такими кусочно-выполняемыми свойствами являются кусочно-постоянные функции, кусочно-линейные функции (см. рисунок), кусочно-непрерывные функции и кусочно-дифференцируемые функции.

Обозначение и интерпретация

Функции по частям могут быть определены с использованием стандартной функциональной нотации, где телом функции является набор функций и соответствующих подмножеств области определения. Эти подмножества вместе должны покрывать всю область определения; часто также требуется, чтобы они были попарно непересекающимися, то есть образовывали разбиение области определения. Чтобы функция считалась "по частям", подмножества обычно должны быть интервалами (некоторые могут быть вырожденными интервалами, то есть отдельными точками или неограниченными интервалами). Для ограниченных интервалов число подмножеств должно быть конечным, а для неограниченных интервалов часто требуется лишь локальная конечность. Например, рассмотрим определение функции абсолютной величины, заданное по частям: в частности, шерлеты использовались в качестве системы представления для получения разреженных приближений этого класса моделей в 2D и 3D. Функции, определенные по частям, также часто используются для интерполяции, например, при интерполяции ближайшими соседями.