Введение

Специальная функция в математике

В математике функция Гурвица дзета является одной из многих дзета-функций. Она формально определяется для комплексных переменных s с Re(s) > 1 и a ≠ 0, −1, −2, следующим образом:

Этот ряд абсолютно сходится для указанных значений s и a и может быть продолжен до мероморфной функции, определенной для всех s ≠ 1. Функция дзета Римана равна ζ(s,1). Функция Гурвица дзета названа в честь Адольфа Гурвица, который ввел ее в 1882 году.

Дискретная трансформация Фурье

Дискретное преобразование Фурье функции дзета Хурвица по переменной s является функцией хи Лежандра.

Нули

Если a=1, то функция дзета Хурвица сводится к самой функции дзета Римана; если a=1/2, то она сводится к функции дзета Римана, умноженной на простую функцию комплексного аргумента s (см. выше), что в каждом случае приводит к сложному изучению нулей функции дзета Римана. В частности, не существует нулей с действительной частью, большей или равной 1. Однако, если 0 < a < 1 и a ≠ 1/2, то существуют нули функции дзета Хурвица в полосе 1 < Re(s) < 1 + ε для любого положительного действительного числа ε. Это было доказано Давенпортом и Хейлброном для рационального или трансцендентного иррационального a, а Кассельсом – для алгебраического иррационального a.

Приложения

Зет-функция Хурвица встречается в различных областях науки. Чаще всего она возникает в теории чисел, где её теория наиболее глубокая и развитая. Однако она также применяется при изучении фракталов и динамических систем. В прикладной статистике она встречается в законе Ципфа и законе Ципфа — Мандельброта. В физике частиц она используется в формуле Джулиана Швингера, дающей точный результат для скорости рождения пар электронов Дирака в однородном электрическом поле.