Введение
Сумма, выплачиваемая за пользование денежными средствами.
Сложные проценты – это проценты, начисляемые на основную сумму и ранее начисленные проценты. Они возникают в результате реинвестирования или сохранения процентов, которые в противном случае были бы выплачены, либо в результате накопления долгов заемщиком. Сложные проценты отличаются от простых процентов, при которых ранее начисленные проценты не прибавляются к основной сумме текущего периода. Размер сложных процентов зависит от применяемой процентной ставки и частоты их начисления.
Частота составления
Частота начисления процентов – это количество раз за определенный период времени, когда накопленные проценты прибавляются к основной сумме. Частота может быть годовой, полугодовой, квартальной, ежемесячной, еженедельной, ежедневной, непрерывной или отсутствовать до момента погашения. Например, ежемесячное начисление процентов, выраженных в годовой ставке, означает, что частота начисления процентов равна 12, а периоды измеряются в месяцах.
Ежегодная эквивалентная ставка
Для того чтобы помочь потребителям более справедливо и легко сравнивать розничные финансовые продукты, во многих странах финансовые организации обязаны раскрывать годовую сложную процентную ставку по вкладам или кредитам на сопоставимой основе. Процентная ставка в годовом эквиваленте может по-разному называться на различных рынках: эффективная годовая процентная ставка (ЭГПР), годовая эквивалентная ставка (АЭР), эффективная процентная ставка, эффективная годовая ставка, годовая процентная доходность и другие термины. Эффективная годовая ставка представляет собой общие накопленные проценты, которые были бы выплачены к концу года, деленные на основную сумму. Эти ставки обычно включают в себя годовую сложную процентную ставку, а также другие расходы, помимо процентов, такие как налоги и комиссии.
Примеры
Проценты по корпоративным и государственным облигациям обычно выплачиваются два раза в год. Сумма процентов, выплачиваемых каждые шесть месяцев, рассчитывается как заявленная процентная ставка, деленная на два и умноженная на основную сумму долга. Годовая ставка с начислением процентов выше заявленной ставки. Канадские ипотечные кредиты обычно начисляют проценты два раза в год, при этом платежи осуществляются ежемесячно или чаще. В американских ипотеках используется амортизационный график погашения, а не сложные проценты. При таких кредитах используется график амортизации для определения того, как платежи распределяются между основной суммой и процентами. Начисленные проценты по этим кредитам не добавляются к основной сумме, а выплачиваются ежемесячно с каждым платежом. В некоторых случаях, например, при оценке деривативов, математически проще использовать непрерывное начисление процентов. Непрерывное начисление процентов при ценообразовании этих инструментов является естественным следствием исчисления Ито, где финансовые деривативы оцениваются с постоянно возрастающей частотой, пока не достигается предел, и дериватив оценивается в непрерывном времени.
История
Сложные проценты, взимаемые кредиторами, когда-то считались худшим видом ростовщичества и подвергались суровому осуждению римским правом и общепринятыми законами многих других стран. Флорентийский купец Франческо Балдуччи Пеголотти предоставил таблицу сложных процентов в своей книге Pratica della mercatura, написанной около 1340 года. В ней приведены проценты на 100 лир по ставкам от 1% до 8% на срок до 20 лет. В "Summa de arithmetica" Луки Пачоли (1494) приводится правило 72, согласно которому, чтобы определить количество лет, необходимых для удвоения инвестиций по сложным процентам, следует разделить процентную ставку на 72. Книга Ричарда Витта "Арифметические вопросы", опубликованная в 1613 году, стала важной вехой в истории сложных процентов. Она была полностью посвящена этой теме (ранее известной как анатоцизм), в то время как предыдущие авторы обычно рассматривали сложные проценты лишь кратко, в одной главе математического учебника. В книге Витта представлены таблицы, основанные на 10% (максимальной допустимой процентной ставке по кредитам) и других ставках для различных целей, таких как оценка аренды недвижимости. Витт был лондонским математиком-практиком, и его книга примечательна ясностью изложения, глубиной понимания и точностью расчетов, подкрепленных 124 разобранными примерами. Якоб Бернулли открыл постоянную в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах. В XIX веке, и, возможно, ранее, персидские купцы использовали слегка модифицированное линейное приближение Тейлора к формуле ежемесячного платежа, которую можно было легко вычислить в уме. В наше время предполагаемая цитата Альберта Эйнштейна о сложных процентах звучит как истина: "Тот, кто понимает это, зарабатывает на этом; тот, кто не понимает, платит за это".
Функция накопления
Поскольку основная сумма P является просто коэффициентом, её часто опускают для упрощения, и вместо этого используют результирующую функцию накопления. Функция накопления показывает, во что вырастет 1 доллар за любой период времени. Функция накопления для сложных процентов выглядит следующим образом:
Непрерывное соединение
Когда число периодов начисления процентов в год неограниченно возрастает, возникает непрерывное начисление процентов, при котором эффективная годовая процентная ставка приближается к верхнему пределу e^r − 1. Непрерывное начисление процентов можно рассматривать как стремление периода начисления процентов к бесконечно малому, что достигается взятием предела при n, стремящемся к бесконечности. Сумма после t периодов непрерывного начисления процентов может быть выражена через начальную сумму P0 следующим образом:
Месячные амортизированные платежи по кредитам или ипотечным кредитам
Проценты по кредитам и ипотечным кредитам, которые погашаются путем амортизации – то есть, предполагают равные ежемесячные платежи до полного погашения кредита – часто начисляются ежемесячно. Вывод формулы для расчета платежей основан на следующем рассуждении.