Введение

Аналог прямой линии в сферической геометрии.

В математике большой круг, или ортодром, — это круговое пересечение сферы и плоскости, проходящей через центр сферы. Любая дуга большого круга является геодезической на сфере, поэтому большие круги в сферической геометрии являются естественным аналогом прямых линий в евклидовом пространстве. Для любой пары различных точек на сфере, не являющихся антиподальными, существует единственный большой круг, проходящий через обе точки. (Любой большой круг, проходящий через какую-либо точку, также проходит через её антиподальную точку, поэтому через две антиподальные точки проходит бесконечно много больших кругов.) Более короткая из двух дуг большого круга между двумя различными точками на сфере называется меньшей дугой и представляет собой кратчайший путь по поверхности между ними. Длина этой дуги — это расстояние между точками по большому кругу (внутреннее расстояние на сфере), которое пропорционально величине центрального угла, образованного двумя точками и центром сферы. Большой круг — это самый большой круг, который можно нарисовать на данной сфере. Любой диаметр большого круга совпадает с диаметром сферы, и, следовательно, каждый большой круг концентричен сфере и имеет тот же радиус. Любой другой круг на сфере называется малым кругом и является пересечением сферы с плоскостью, не проходящей через её центр. Малые круги являются аналогом окружностей в евклидовом пространстве в сферической геометрии. Каждая окружность в евклидовом трёхмерном пространстве является большим кругом ровно одной сферы. Диск, ограниченный большим кругом, называется большим диском: это пересечение шара и плоскости, проходящей через его центр. В более высоких размерностях большие круги на n-сфере являются пересечением n-сферы с двумя плоскостями, проходящими через начало координат в евклидовом пространстве R^(n+1).

Приложения

Некоторые примеры больших кругов на небесной сфере включают небесный горизонт, небесный экватор и эклиптику. Большие круги также используются в качестве достаточно точных приближений геодезических линий на поверхности Земли для авиационной и морской навигации (хотя Земля не является идеальной сферой), а также на сфероидальных небесных телах. Экватор идеализированной Земли является большой окружностью, и любой меридиан вместе со своим противоположным меридианом образуют большую окружность. Другой пример большой окружности – это окружность, разделяющая полушария суши и воды. Большая окружность делит Землю на два полушария, и если большая окружность проходит через какую-либо точку, она обязательно проходит через её антиподальную точку. Преобразование Функа интегрирует функцию вдоль всех больших кругов сферы.