Введение

В математике гипотеза Шинцеля H — одна из самых известных нерешенных проблем в теории чисел. Это очень широкое обобщение таких широко известных, но до сих пор не доказанных утверждений, как гипотеза о близнецах простых чисел. Гипотеза названа в честь Анджея Шинцеля.

Перспективы и применения

Гипотеза, вероятно, недостижима для современных методов аналитической теории чисел, но сейчас довольно часто используется для доказательства условных результатов, например, в диофантовой геометрии. Эта связь установлена Жаном Луи Коллио-Теленом и Жаном Жаком Сансуком. Более подробные объяснения и ссылки на эту связь можно найти в примечаниях Суиннертона-Дайера. Учитывая силу предполагаемого результата, возможно, что его окажется чрезмерно оптимистичным ожидать.

Локальный анализ

Условие отсутствия фиксированного простого делителя является чисто локальным (то есть зависит только от простых чисел). Иными словами, предполагается, что конечное множество неприводимых целочисленных многочленов, не имеющих локальных препятствий для принятия бесконечного числа простых значений, примет бесконечно много простых значений.

Аналог, который не работает

Аналогичное утверждение, в котором целые числа заменены кольцом однопеременных многочленов над конечным полем, неверно. Например, Свон отметил в 1962 году (по причинам, не связанным с гипотезой H), что многочлен

над кольцом F2[u] является неприводимым и не имеет фиксированного простого делителя (в конце концов, его значения при x = 0 и x = 1 являются взаимно простыми многочленами), но все его значения при x, пробегающем F2[u], являются составными. Подобные примеры можно найти, заменив F2 любым конечным полем; препятствия в корректной формулировке гипотезы H над F[u], где F – конечное поле, перестают быть чисто локальными, и возникает новое глобальное препятствие, не имеющее классических аналогов, при условии, что гипотеза H действительно верна.