Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Тип кривой рулетки
Type of roulette curve
В геометрии лимакон или лимакон /ˈlɪməsɒn/, также известный как лимакон Паскаля или Паскалева улитка, определяется как кривая рулетки, образованная траекторией точки, закреплённой на окружности, когда эта окружность катится по внешней стороне другой окружности равного радиуса. Его также можно определить как рулетку, образующуюся при качении окружности вокруг окружности, радиус которой вдвое больше, так что меньшая окружность находится внутри большей. Таким образом, лимаконы принадлежат к семейству кривых, называемых центрированными трохоидами; более конкретно, это эпитрохоиды. Кардиоида — это частный случай, когда точка, генерирующая рулетку, лежит на катящейся окружности; результирующая кривая имеет остриё. В зависимости от положения точки, формирующей кривую, она может иметь внутренние и внешние петли (отсюда и название семейства), иметь форму сердца или быть овальной. Лимакон — это бициркулярная рациональная плоская алгебраическая кривая 4-й степени.
In geometry, a limaçon or limacon '/l//ɪ//m//ə//s//ɒ//n/, also known as a limaçon of Pascal or Pascal's Snail, is defined as a roulette curve formed by the path of a point fixed to a circle when that circle rolls around the outside of a circle of equal radius. It can also be defined as the roulette formed when a circle rolls around a circle with half its radius so that the smaller circle is inside the larger circle. Thus, they belong to the family of curves called centered trochoids; more specifically, they are epitrochoids. The cardioid is the special case in which the point generating the roulette lies on the rolling circle; the resulting curve has a cusp. Depending on the position of the point generating the curve, it may have inner and outer loops (giving the family its name), it may be heart shaped, or it may be oval. A limaçon is a bicircular rational plane algebraic curve of degree 4.
История
Самые ранние формальные исследования лимасонов обычно приписываются Этьену Паскалю, отцу Блеза Паскаля. Однако некоторые проницательные исследования, касающиеся этих кривых, были проведены ранее немецким художником эпохи Возрождения Альбрехтом Дюрером. В труде Дюрера "Underweysung der Messung" (Руководство по измерениям) содержатся конкретные геометрические методы для построения лимасонов. Название кривой дал Жиль де Роберваль, использовав её в качестве примера при поиске касательных.
The earliest formal research on limaçons is generally attributed to Étienne Pascal, father of Blaise Pascal. However, some insightful investigations regarding them had been undertaken earlier by the German Renaissance artist Albrecht Dürer. Dürer's Underweysung der Messung (Instruction in Measurement) contains specific geometric methods for producing limaçons. The curve was named by Gilles de Roberval when he used it as an example for finding tangent lines.
Форма
Когда , лимакон является простой замкнутой кривой. Однако начало координат удовлетворяет приведенному выше декартову уравнению, поэтому график этого уравнения имеет акноду или изолированную точку. Когда , площадь, ограниченная кривой, является выпуклой, а когда , кривая имеет вмятину, ограниченную двумя точками перегиба. При , точка является точкой с нулевой кривизной. По мере уменьшения относительно , вмятина становится более выраженной, пока при , кривая не превращается в кардиоиду, а вмятина – в острую вершину. При , острая вершина расширяется во внутреннюю петлю, и кривая самопересекается в начале координат. При приближении к нулю петля заполняет внешнюю кривую, и в пределе лимакон становится окружностью, пройденной дважды.
When , the limaçon is a simple closed curve. However, the origin satisfies the Cartesian equation given above, so the graph of this equation has an acnode or isolated point. When , the area bounded by the curve is convex, and when , the curve has an indentation bounded by two inflection points. At , the point is a point of 0 curvature. As is decreased relative to , the indentation becomes more pronounced until, at , the curve becomes a cardioid, and the indentation becomes a cusp. For , the cusp expands to an inner loop, and the curve crosses itself at the origin. As approaches 0, the loop fills up the outer curve and, in the limit, the limaçon becomes a circle traversed twice.