Введение
Наборы координат фазового пространства, которые могут быть использованы для описания физической системы. В математике и классической механике канонические координаты — это наборы координат фазового пространства, позволяющие описать физическую систему в любой момент времени. Канонические координаты используются в гамильтоновой формулировке классической механики. Тесно связанная концепция также встречается в квантовой механике; подробности см. в теореме Стоуна — фон Неймана и канонических коммутационных соотношениях. Подобно тому, как гамильтонова механика обобщается симплектической геометрией, а канонические преобразования — контактными преобразованиями, определение канонических координат в классической механике XIX века может быть обобщено до более абстрактного определения координат в XX веке на котангентном расслоении многообразия (математическое понятие фазового пространства).
In mathematics and classical mechanics, canonical coordinates are sets of coordinates on phase space which can be used to describe a physical system at any given point in time. Canonical coordinates are used in the Hamiltonian formulation of classical mechanics. A closely related concept also appears in quantum mechanics; see the Stone–von Neumann theorem and canonical commutation relations for details. As Hamiltonian mechanics are generalized by symplectic geometry and canonical transformations are generalized by contact transformations, so the 19th century definition of canonical coordinates in classical mechanics may be generalized to a more abstract 20th century definition of coordinates on the cotangent bundle of a manifold (the mathematical notion of phase space).
Определение в классической механике
В классической механике канонические координаты — это координаты *q* и *p* в фазовом пространстве, используемые в гамильтоновом формализме. Канонические координаты удовлетворяют фундаментальным соотношениям Пуассона:
Типичным примером канонических координат является использование обычных декартовых координат для *q* и компонент импульса для *p*. Следовательно, в общем случае координаты *p* называют сопряжёнными импульсами. Канонические координаты можно получить из обобщённых координат лагранжева формализма с помощью преобразования Лежандра или из другого набора канонических координат посредством канонического преобразования.
Обобщенные координаты
В лагранжевой механике используется другой набор координат, называемый обобщёнными координатами. Они обычно обозначаются как , где – обобщённая координата положения, а – обобщённая координата скорости. Когда гамильтониан определяется на котангенциальном расслоении, обобщённые координаты связаны с каноническими координатами посредством уравнений Гамильтона — Якоби.