Введение

Математическая операция
В математике преобразование Кейли, названное в честь Артура Кейли, представляет собой совокупность взаимосвязанных понятий. Как первоначально описано, преобразование Кейли — это отображение между кососимметричными матрицами и специальными ортогональными матрицами. Это преобразование является гомографией, используемой в вещественном анализе, комплексном анализе и анализе кватернионов. В теории пространств Гильберта преобразование Кейли — это отображение между линейными операторами.

Другие матрицы

Можно расширить отображение на комплексные матрицы, заменив "ортогональный" на "унитарный", а "кососимметричный" на "косоэрмитов", причем разница заключается в том, что транспонирование (·T) заменяется сопряженным транспонированием (·H). Это согласуется с заменой стандартного вещественного внутреннего произведения на стандартное комплексное внутреннее произведение. Фактически, можно расширить определение еще дальше, выбирая присоединенное отображение, отличное от транспонирования или сопряженного транспонирования. Формально, определение требует лишь некоторой обратимости, поэтому Q можно заменить любой матрицей M, собственные значения которой не включают −1. Например,

Следует отметить, что A является кососимметричной (соответственно, косоэрмитовой) тогда и только тогда, когда Q является ортогональной (соответственно, унитарной) матрицей, не имеющей собственного значения −1.

Карта оператора

Бесконечномерная версия пространства с внутренним произведением — это пространство Гильберта, и в этом случае о матрицах говорить уже нельзя. Однако матрицы — это лишь представления линейных операторов, и их можно использовать. Таким образом, обобщая как отображение матриц, так и отображение комплексной плоскости, можно определить преобразование Кейли для операторов. Здесь область определения U, dom U, равна (A+iI) dom A. Подробности см. в статье «Самосопряжённый оператор».