Введение

Переменные, являющиеся дуальными по преобразованию Фурье, сопряжённые переменные в контексте термодинамики. Сопряжённые переменные – это пары переменных, математически определённые таким образом, что они становятся дуальными по преобразованию Фурье или, в более общем случае, связаны посредством дуальности Понтрягина. Отношения двойственности естественным образом приводят к соотношению неопределённости – в физике известному как принцип неопределённости Гейзенберга – между ними. В математическом плане сопряжённые переменные являются частью симплектического базиса, а соотношение неопределённости соответствует симплектической форме. Кроме того, сопряжённые переменные связаны теоремой Нётер, которая утверждает, что если законы физики инвариантны относительно изменения одной из сопряжённых переменных, то другая сопряжённая переменная не будет изменяться со временем (то есть будет сохраняться).

Примеры

Существует множество типов сопряженных переменных, в зависимости от типа работы, которую выполняет (или которой подвергается) определенная система. Примеры канонически сопряженных переменных включают следующее:

Время и частота: чем дольше длится музыкальная нота, тем точнее мы можем определить её частоту, но она занимает больший промежуток времени и, следовательно, является более распределенным событием или «мгновением» во времени. И наоборот, очень короткая музыкальная нота превращается в щелчок и, таким образом, более локализована во времени, но её частоту нельзя определить с высокой точностью. Эффект Доплера и дальность: чем точнее мы знаем расстояние до радиолокационной цели, тем меньше мы знаем о её точной скорости сближения или удаления, и наоборот. В этом случае двумерная функция, описывающая эффект Доплера и дальность, известна как функция неоднозначности радиолокатора или диаграмма неоднозначности радиолокатора. Поверхностная энергия: γ dA (γ = поверхностное натяжение; A = площадь поверхности). Упругое растяжение: F dL (F = упругая сила; L = длина растяжения).

Производные действия

В классической физике производные действия являются канонически сопряжёнными переменными к величине, по которой производится дифференцирование. В квантовой механике эти же пары переменных связаны принципом неопределённости Гейзенберга. Энергия частицы в заданном событии является отрицательной производной действия вдоль траектории этой частицы, заканчивающейся в этом событии, по времени события. Линейный импульс частицы является производной её действия по её положению. Угловой момент частицы является производной её действия по её ориентации (угловому положению). Массовый момент частицы – отрицательная производная её действия по её быстроте. Электрический потенциал (φ, напряжение) в событии является отрицательной производной действия электромагнитного поля по плотности (свободного) электрического заряда в этом событии. Магнитный потенциал (A) в событии является производной действия электромагнитного поля по плотности (свободного) электрического тока в этом событии. Электрическое поле (E) в событии является производной действия электромагнитного поля по плотности электрической поляризации в этом событии. Магнитная индукция (B) в событии является производной действия электромагнитного поля по намагниченности в этом событии. Ньютоновский гравитационный потенциал в событии – это отрицательная производная действия ньютоновского гравитационного поля по плотности массы в этом событии.

Механика жидкостей

В гамильтоновой механике жидкостей и квантовой гидродинамике само действие (или потенциал скорости) является канонически сопряжённой переменной плотности (или "плотности вероятности").