Введение
Бесконечномерная алгебра Ли, возникающая в квантовой теории поля. Определенные коммутационные соотношения между операторами плотности тока в квантовых теориях поля определяют бесконечномерную алгебру Ли, называемую алгеброй токов. Математически это алгебры Ли, состоящие из гладких отображений с многообразия в конечномерную алгебру Ли.
Certain commutation relations among the current density operators in quantum field theories define an infinite dimensional Lie algebra called a current algebra. Mathematically these are Lie algebras consisting of smooth maps from a manifold into a finite dimensional Lie algebra.
История
Оригинальная токовая алгебра, предложенная в 1964 году Мюрреем Геллом-Манном, описывала слабые и электромагнитные токи сильно взаимодействующих частиц – адронов, что привело к формуле Адлера — Вейсбергера и другим важным физическим результатам. Основная идея, в эпоху, непосредственно предшествующую квантовой хромодинамике, заключалась в том, что даже без детального знания лагранжиана, определяющего динамику адронов, точная кинематическая информация – локальная симметрия – все же могла быть закодирована в алгебре токов. Коммутаторы, используемые в токовой алгебре, представляют собой бесконечномерное расширение отображения Иордана, где квантовые поля описываются бесконечными рядами осцилляторов. Методы токовой алгебры по-прежнему составляют общий теоретический фон в физике частиц при анализе симметрий и незаменимы при обсуждении теоремы Голдстоуна.
currents. The commutators involved in current algebra amount to an infinite dimensional extension of the Jordan map, where the quantum fields represent infinite arrays of oscillators. Current algebraic techniques are still part of the shared background of particle physics when analyzing symmetries and indispensable in discussions of the Goldstone theorem.
Конформная теория поля
В случае, когда пространство представляет собой одномерный круг, токовые алгебры возникают естественным образом как центральное расширение алгебры петель, известной как алгебры Каца — Моди или, более конкретно, аффинные алгебры Ли. В этом случае коммутатору и нормальному упорядочению можно дать очень точное математическое определение в терминах контуров интегрирования на комплексной плоскости, тем самым избегая некоторых формальных расходимостей, обычно встречающихся в квантовой теории поля. При сжатии формы Киллинга алгебры Ли с токовым коммутатором получается тензор энергии-импульса двухмерной конформной теории поля. При разложении этого тензора в ряд Лорана, результирующая алгебра называется алгеброй Вирасоро. Этот расчет известен как построение Сугавары. Общий случай формализуется как алгебра вершинных операторов.