Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Теория физического поля без сил/взаимодействий
Physical field theory with no forces/interactions
В физике свободное поле — это поле, не имеющее взаимодействий, описываемое уравнениями движения и массой.
In physics a free field is a field without interactions, which is described by the terms of motion and mass.
Описание
В классической физике свободное поле — это поле, уравнения движения которого задаются линейными частными дифференциальными уравнениями. Такие линейные ПДУ имеют единственное решение для заданного начального условия. В квантовой теории поля операторнозначное распределение является свободным полем, если оно удовлетворяет некоторым линейным частным дифференциальным уравнениям, таким что соответствующий случай тех же линейных ПДУ для классического поля (то есть не оператора) будет уравнением Эйлера — Лагранжа для некоторого квадратичного лагранжиана. Мы можем дифференцировать распределения, определяя их производные через дифференцированные пробные функции. Подробнее см. распределение Шварца. Поскольку мы имеем дело не с обычными распределениями, а с операторнозначными распределениями, подразумевается, что эти ПДУ не являются ограничениями на состояния, а скорее описывают соотношения между сглаженными полями. Помимо ПДУ, операторы также удовлетворяют другому соотношению — соотношению коммутации/антикоммутации.
In classical physics, a free field is a field whose equations of motion are given by linear partial differential equations. Such linear PDE's have a unique solution for a given initial condition. In quantum field theory, an operator valued distribution is a free field if it satisfies some linear partial differential equations such that the corresponding case of the same linear PDEs for a classical field (i. e. not an operator) would be the Euler–Lagrange equation for some quadratic Lagrangian. We can differentiate distributions by defining their derivatives via differentiated test functions. See Schwartz distribution for more details. Since we are dealing not with ordinary distributions but operator valued distributions, it is understood these PDEs aren't constraints on states but instead a description of the relations among the smeared fields. Beside the PDEs, the operators also satisfy another relation, the commutation/anticommutation relations.
Каноническая коммутационная связь
В основном, коммутатор (для бозонов) / антикоммутатор (для фермионов) двух размазанных полей равен i, умноженному на скобку Пейерлса поля с самим собой (которая фактически является распределением, а не функцией) для дифференциальных уравнений в частных производных, размазанных по обеим тестовым функциям. Это имеет вид алгебры CCR/CAR. Алгебры CCR/CAR с бесконечным числом степеней свободы обладают множеством неэквивалентных неприводимых унитарных представлений. Если теория определена на пространстве Минковского, мы можем выбрать унитарное неприводимое представление, содержащее вакуумное состояние, хотя это не всегда обязательно.
Basically, commutator (for bosons)/anticommutator (for fermions) of two smeared fields is i times the Peierls bracket of the field with itself (which is really a distribution, not a function) for the PDEs smeared over both test functions. This has the form of a CCR/CAR algebra. CCR/CAR algebras with infinitely many degrees of freedom have many inequivalent irreducible unitary representations. If the theory is defined over Minkowski space, we may choose the unitary irrep containing a vacuum state although that isn't always necessary.