Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Круг наилучшего прилегания кривой в точке
Circle of immediate corresponding curvature of a curve at a point
[[Файл:Оскулирующие круги спирали Архимеда. svg|thumb|right|Оскулирующие круги спирали Архимеда, вложенные согласно теореме Таита — Кнесера. "Сама спираль не изображена: мы видим ее как геометрическое место точек, где круги особенно близки друг к другу". Оскулирующий круг позволяет понять локальное поведение кривой и широко используется в дифференциальной геометрии и математическом анализе. В дифференциальной геометрии кривых оскулирующий круг достаточно гладкой плоской кривой в заданной точке p традиционно определяется как круг, проходящий через точку p и пару дополнительных точек на кривой, бесконечно близких к p. Его центр лежит на внутренней нормали, а его кривизна определяет кривизну заданной кривой в этой точке. Этот круг, являющийся среди всех касательных кругов в данной точке наиболее плотно прилегающим к кривой, был назван Лейбницем circulus osculans (лат. "касательный круг"). Центр и радиус оскулирующего круга в данной точке называются центром кривизны и радиусом кривизны кривой в этой точке. Геометрическое построение было описано Исааком Ньютоном в его "Математических началах натуральной философии" (Principia):
[[File:Osculating circles of the Archimedean spiral. svg|thumb|right|Osculating circles of the Archimedean spiral, nested by the Tait–Kneser theorem. "The spiral itself is not drawn: we see it as the locus of points where the circles are especially close to each other." The osculating circle provides a way to understand the local behavior of a curve and is commonly used in differential geometry and calculus. More formally, in differential geometry of curves, the osculating circle of a sufficiently smooth plane curve at a given point p on the curve has been traditionally defined as the circle passing through p and a pair of additional points on the curve infinitesimally close to p. Its center lies on the inner normal line, and its curvature defines the curvature of the given curve at that point. This circle, which is the one among all tangent circles at the given point that approaches the curve most tightly, was named circulus osculans (Latin for "kissing circle") by Leibniz. The center and radius of the osculating circle at a given point are called center of curvature and radius of curvature of the curve at that point. A geometric construction was described by Isaac Newton in his Principia:
Нетехническое описание
Представьте себе автомобиль, движущийся по криволинейной дороге на обширной плоской равнине. Внезапно, в какой-то точке траектории рулевое управление блокируется в текущем положении. После этого автомобиль начинает двигаться по окружности, касающейся дороги в точке блокировки. Кривизна этой окружности равна кривизне дороги в этой точке. Эта окружность и называется кругом касания кривой дороги в данной точке.
Imagine a car moving along a curved road on a vast flat plane. Suddenly, at one point along the road, the steering wheel locks in its present position. Thereafter, the car moves in a circle that "kisses" the road at the point of locking. The curvature of the circle is equal to that of the road at that point. That circle is the osculating circle of the road curve at that point.
Декартские координаты
Мы можем получить центр круга наилучшего приближения в декартовых координатах, если подставить 1/t = x и 1/y = f(x) для некоторой функции f. Если выполнить вычисления, то результаты для координат X и Y центра круга наилучшего приближения будут следующими:
We can obtain the center of the osculating circle in Cartesian coordinates if we substitute 1=t = x and 1=y = f(x) for some function f. If we do the calculations the results for the X and Y coordinates of the center of the osculating circle are: