Введение

В теории алгебр фон Неймана, субфактор фактора — это субальгебра, являющаяся фактором и содержащая единицу. Теория субфакторов привела к открытию многочлена Джонса в теории узлов.

Индекс подфактора

Обычно считается фактором типа I, чтобы он имел конечный след. В этом случае каждый модуль гильбертова пространства имеет размерность, которая является неотрицательным действительным числом или ∞. Индекс субфактора определяется как [N:M]. Здесь [N:M] – это обозначение представления N, полученного из конструкции GNS следа M.

Башня Джонса

Предположим, что это включение факторов типа с конечным индексом. Итерируя базовую конструкцию, мы получаем башню включений

где и , и каждый генерируется предыдущей алгеброй и проекцией. Объединение всех этих алгебр имеет трациальное состояние, ограничение которого на каждую является трациальным состоянием, и, следовательно, замыкание объединения является другой алгеброй фон Неймана типа . Алгебра содержит последовательность проекций, которые удовлетворяют соотношениям Темперли — Либа с параметром . Более того, алгебра, порожденная , является алгеброй, в которой проекции самосопряжены и такие, что когда находится в алгебре, порожденной до . Когда эти дополнительные условия выполнены, алгебра называется алгеброй Темперли — Либа — Джонса с параметром . Можно показать, что она единственна с точностью до изоморфизма. Она существует только когда принимает эти специальные значения для , или значения, большие чем .

Многочленовые узлы

Алгебра, порожденная элементами с указанными выше соотношениями, называется алгеброй Темперли — Либа. Она является фактор-алгеброй групповой алгебры группы кос, поэтому представления алгебры Темперли — Либа дают представления группы кос, которые, в свою очередь, часто приводят к инвариантам узлов.