Введение
Неограниченная квадратичная поверхность. Гиперболоид одного листа, коническая поверхность между гиперболоидом двух листов.
В геометрии гиперболоид вращения, иногда называемый круговым гиперболоидом, — это поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из её главных осей. Гиперболоид — это поверхность, полученная из гиперболоида вращения путем деформации его посредством направленных масштабирований или, в более общем случае, аффинного преобразования. Гиперболоид — это квадратичная поверхность, то есть поверхность, определяемая как множество нулей многочлена второй степени от трех переменных. Среди квадратичных поверхностей гиперболоид характеризуется тем, что он не является конусом или цилиндром, имеет центр симметрии и пересекает многие плоскости в гиперболы. Гиперболоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии и три попарно перпендикулярные плоскости симметрии. Для заданного гиперболоида можно выбрать декартову систему координат так, чтобы гиперболоид определялся одним из следующих уравнений:
In geometry, a hyperboloid of revolution, sometimes called a circular hyperboloid, is the surface generated by rotating a hyperbola around one of its principal axes. A hyperboloid is the surface obtained from a hyperboloid of revolution by deforming it by means of directional scalings, or more generally, of an affine transformation. A hyperboloid is a quadric surface, that is, a surface defined as the zero set of a polynomial of degree two in three variables. Among quadric surfaces, a hyperboloid is characterized by not being a cone or a cylinder, having a center of symmetry, and intersecting many planes into hyperbolas. A hyperboloid has three pairwise perpendicular axes of symmetry, and three pairwise perpendicular planes of symmetry. Given a hyperboloid, one can choose a Cartesian coordinate system such that the hyperboloid is defined by one of the following equations:
или
Координатные оси являются осями симметрии гиперболоида, а начало координат — центром симметрии гиперболоида. В любом случае гиперболоид асимптотичен конусу, задаваемому уравнениями:
Гиперболоид вращения существует тогда и только тогда, когда . В противном случае оси определены однозначно (с точностью до обмена осей x и y). Существует два типа гиперболоидов. В первом случае (+1 в правой части уравнения): гиперболоид одного листа, также называемый гиперболическим гиперболоидом. Это связная поверхность, имеющая отрицательную гауссову кривизну в каждой точке. Это означает, что вблизи каждой точки пересечение гиперболоида с его касательной плоскостью в этой точке состоит из двух ветвей кривой, имеющих различные касательные в этой точке. В случае однолистного гиперболоида эти ветви кривых являются прямыми, и, следовательно, однолистный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью. Во втором случае (−1 в правой части уравнения): гиперболоид двух листов, также называемый эллиптическим гиперболоидом. Поверхность имеет две связные компоненты и положительную гауссову кривизну в каждой точке. Поверхность выпуклая в том смысле, что касательная плоскость в каждой точке пересекает поверхность только в этой точке.
Кривота
В то время как гауссова кривизна однополостного гиперболоида отрицательна, гауссова кривизна двуполостного гиперболоида положительна. Несмотря на положительную кривизну, двуполостный гиперболоид с подходящим образом выбранной метрикой также может быть использован в качестве модели гиперболической геометрии.
Гиперболоидные структуры
В строительстве используются однослойные гиперболоиды, а сооружения, построенные на их основе, называются гиперболоидными конструкциями. Гиперболоид – это поверхность двойного линейчатого развертывания, благодаря чему его можно возводить из прямых стальных балок, получая прочную конструкцию с меньшими затратами по сравнению с другими методами. Примеры включают в себя градирни, особенно на электростанциях, и множество других сооружений.