Введение
Геометрическая форма
В геометрическом моделировании и компьютерной графике композитная кривая Безие или сплайн Безие – это сплайн, состоящий из кривых Безие, который является как минимум непрерывным. Другими словами, композитная кривая Безие – это последовательность кривых Безие, соединенных конец в конец, где последняя точка одной кривой совпадает с начальной точкой следующей кривой. В зависимости от применения могут быть добавлены дополнительные требования к гладкости (например, C¹ или C² непрерывность). Непрерывная композитная кривая Безие также называется полибезиером, по аналогии с полилинией, но в то время как в полилиниях точки соединяются прямыми линиями, в полибезиере точки соединяются кривыми Безие. Безиергон (также называемый безигоном) – это замкнутая кривая, состоящая из кривых Безие. Он похож на многоугольник в том, что соединяет набор вершин линиями, но в то время как в многоугольниках вершины соединяются прямыми линиями, в безиергоне вершины соединяются кривыми Безие. Некоторые авторы даже называют композитную кривую Безие "сплайном Безие"; последний термин, однако, используется другими авторами как синоним (некомпозитной) кривой Безие, и они добавляют "композитный" перед "сплайном Безие", чтобы обозначить композитный случай. Возможно, наиболее распространенным применением композитных кривых Безие является описание контура каждой буквы в файле PostScript или PDF. Такие контуры состоят из одного безиергона для открытых букв или нескольких безиергонов для замкнутых букв. Современная векторная графика и компьютерные системы шрифтов, такие как PostScript, Asymptote, Metafont, OpenType и SVG, используют композитные кривые Безие, состоящие из кубических кривых Безие (кривых третьего порядка) для рисования изогнутых форм.
Гладкое соединение
Обычно желаемым свойством сплайнов является обеспечение соединения отдельных кривых с заданным уровнем параметрической или геометрической непрерывности. Хотя отдельные кривые в сплайне полностью непрерывны в пределах своего интервала, в точках соединения различных кривых всегда присутствует некоторая степень разрыва. Безие-сплайн достаточно уникален тем, что является одним из немногих сплайнов, который не гарантирует более высокой степени непрерывности, чем он имеет. Однако, можно расположить контрольные точки таким образом, чтобы обеспечить различные уровни непрерывности в местах соединения, хотя это может привести к потере локального контроля, если это ограничение слишком жесткое для заданной степени Безие-сплайна.
Приближающие круговые дуги
В случае, если примитивы круговой дуги не поддерживаются в конкретной среде, их можно аппроксимировать кривыми Безье. Обычно для аппроксимации окружности используют восемь квадратичных сегментов или четыре кубических сегмента. Целесообразно определить значения координат контрольных точек, которые обеспечивают минимальную ошибку аппроксимации при заданном количестве кубических сегментов.
Шрифты
Шрифты TrueType используют составные кривые Безье, состоящие из квадратичных кривых Безье (кривых второго порядка). Для описания типичного дизайна шрифта в виде компьютерного шрифта с заданной точностью, кубические кривые Безье требуют меньше данных, чем квадратичные кривые Безье; а те, в свою очередь, требуют меньше данных, чем последовательность прямых линий. Это верно, даже несмотря на то, что любой отрезок прямой линии требует меньше данных, чем любой отрезок параболы; и этот параболический отрезок, в свою очередь, требует меньше данных, чем любой отрезок кубической кривой.