Введение

Финансово-математический показатель. В финансовой математике подразумеваемая волатильность (IV) опционного контракта – это значение волатильности базового актива, которое, будучи введено в модель ценообразования опционов (обычно модель Блэка — Шоулза), возвращает теоретическую цену, равную рыночной цене опциона. Финансовый инструмент, не являющийся опционом, но содержащий встроенные опционные элементы, такой как процентный своп, также может иметь подразумеваемую волатильность. Подразумеваемая волатильность – это прогностический и субъективный показатель, который отличается от исторической волатильности, поскольку последняя рассчитывается на основе известных прошлых доходностей актива. Для оценки текущего уровня подразумеваемой волатильности относительно базового актива используется ранг подразумеваемой волатильности, позволяющий определить ее положение в диапазоне годового максимума и минимума IV.

Пример

Европейский опцион на покупку на одну акцию XYZ Corp, не выплачивающую дивиденды, с ценой исполнения в 50 долларов США истекает через 32 дня. Безрисковая процентная ставка составляет 5%. Акции XYZ в настоящее время торгуются по цене 51,25 доллара США, а текущая рыночная цена составляет 2,00 доллара США. Используя стандартную модель ценообразования Блэка — Шоулза, волатильность, подразумеваемая рыночной ценой, составляет 18,7%, или:

Для проверки мы применяем подразумеваемую волатильность к модели ценообразования f и получаем теоретическое значение в размере 2,0004 доллара США, что подтверждает наши вычисления рыночной подразумеваемой волатильности.

Решение функции обратной модели ценообразования

В общем случае, функция модели ценообразования, f, не имеет аналитического решения для своей обратной функции, g. Вместо этого, для решения уравнения часто используется метод поиска корней:

Хотя существует множество методов поиска корней, два наиболее часто используемых – метод Ньютона и метод Брента. Поскольку цены опционов могут меняться очень быстро, при расчете подразумеваемой волатильности часто важно использовать наиболее эффективный метод. Метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость; однако он требует вычисления первой частной производной теоретической стоимости опциона по волатильности, то есть веги (см. раздел «Греки»). Если функция модели ценообразования предоставляет аналитическое решение для веги, что справедливо для модели Блэка — Шоулза, то метод Ньютона может быть более эффективным. Однако для большинства практических моделей ценообразования, таких как биномиальная модель, это не так, и вегу необходимо вычислять численно. В случае, когда необходимо численно определять вегу, можно использовать метод Кристофера и Салкина или, для более точного расчета подразумеваемой волатильности для опционов вне денег, модель Коррадо — Миллера. В частности, для модели Блэка — Шоулза — Мертона, метод Jaeckel «Let's Be Rational» вычисляет подразумеваемую волатильность с полной достижимой (стандартной 64-битной точностью с плавающей точкой) машинной точностью для всех возможных входных значений менее чем за микросекунду. Алгоритм включает в себя начальное приближение, основанное на сопоставленных асимптотических разложениях, плюс (всегда точно) два шага улучшения Хаусхолдера (порядка сходимости 4), что делает его трехэтапной (то есть неитеративной) процедурой. Эталонная реализация на C++ доступна для свободного использования. Помимо вышеупомянутых методов поиска корней, существуют также методы, которые непосредственно аппроксимируют многомерную обратную функцию. Часто они основаны на полиномах или рациональных функциях. Для модели Бачелье («нормальной», в отличие от «логнормальной») Джекель опубликовал полностью аналитическую и сравнительно простую двухэтапную формулу, обеспечивающую полную достижимую (стандартную 64-битную точность с плавающей точкой) машинную точность для всех возможных входных значений.

Параметризация имплицитной волатильности

С появлением больших данных и науки о данных параметризация подразумеваемой волатильности приобрела центральное значение для обеспечения согласованной интерполяции и экстраполяции. Классическими моделями являются SABR и SVI, а также их расширение IVP.

Имплицитная волатильность как мера относительного значения

Как утверждает Брайан Бирн, подразумеваемая волатильность опциона является более полезным показателем относительной стоимости опциона, чем его цена. Это связано с тем, что цена опциона в наибольшей степени зависит от цены базового актива. Если опцион удерживается в рамках дельта-нейтрального портфеля (то есть портфеля, застрахованного от небольших изменений цены базового актива), то следующим по важности фактором, определяющим стоимость опциона, будет его подразумеваемая волатильность. Подразумеваемая волатильность настолько важна, что опционы часто котируются в единицах волатильности, а не цены, особенно среди профессиональных трейдеров.

Пример

Опцион на покупку торгуется по цене $1,50, а базовая цена составляет $42,05. Имплицитная волатильность опциона определена на уровне 18,0%. Вскоре после этого опцион торгуется по цене $2,10, а базовая цена – $43,34, что соответствует имплицитной волатильности в 17,2%. Несмотря на то, что цена опциона выше при втором измерении, он все равно считается более дешевым с точки зрения волатильности. Это связано с тем, что базовый актив, необходимый для хеджирования опциона на покупку, можно продать по более высокой цене.

В качестве цены

Другой способ взглянуть на подразумеваемую волатильность — рассматривать её как цену, а не как меру будущих колебаний цены акций. С этой точки зрения, это просто более удобный способ выражения цен опционов, чем валюта. Цены принципиально отличаются от статистических показателей: можно оценить волатильность будущей доходности базового актива, используя множество различных методов оценки, однако полученное число не является ценой. Цена требует наличия двух контрагентов — покупателя и продавца. Цены формируются под воздействием спроса и предложения. Статистические оценки зависят от временного ряда и математической структуры используемой модели. Ошибочно смешивать цену, которая подразумевает совершение сделки, с результатом статистической оценки, который является лишь результатом вычисления. Подразумеваемые волатильности — это цены: они выведены из реальных сделок. Если рассматривать это в таком свете, то не должно удивлять, что подразумеваемая волатильность может не соответствовать прогнозам конкретной статистической модели. Однако, вышеописанный подход не учитывает, что значения подразумеваемой волатильности зависят от модели, используемой для их расчета: разные модели, примененные к одним и тем же рыночным ценам опционов, дадут разные значения подразумеваемой волатильности. Таким образом, если принять эту точку зрения на подразумеваемую волатильность как на цену, то необходимо признать, что не существует единственной подразумеваемой волатильности, и что покупатель и продавец в одной и той же сделке могут оперировать с разными "ценами".

Непостоянная имплицитная волатильность

В целом, опционы, основанные на одном и том же базовом активе, но с разными ценами исполнения и сроками экспирации, будут иметь различные значения подразумеваемой волатильности. Это можно рассматривать как свидетельство того, что волатильность базового актива не является постоянной, а зависит от таких факторов, как уровень цены или время, либо как свидетельство того, что изменения цены базового актива не соответствуют распределению, которое предполагается в рассматриваемой модели (например, Black-Scholes). Существует несколько известных параметризаций поверхности волатильности (Schonbusher, SVI и gSVI), а также соответствующие методы устранения арбитражных возможностей. Подробности см. в разделах «Стохастическая волатильность» и «Волатильность улыбки».

Инструменты волатильности

Инструменты волатильности – это финансовые инструменты, отслеживающие значение подразумеваемой волатильности других производных финансовых инструментов. Например, индекс волатильности CBOE (VIX) рассчитывается как средневзвешенное значение подразумеваемых волатильностей различных опционов на индекс S&P 500. Существуют также другие широко используемые индексы волатильности, такие как индекс VXN (мера волатильности фьючерсов на индекс Nasdaq 100), QQV (мера волатильности QQQ), индекс подразумеваемой волатильности IVX (прогноз волатильности акций на будущий период для любых ценных бумаг США и биржевых инструментов), а также опционные и фьючерсные производные, основанные непосредственно на этих индексах волатильности.