Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Архимедово тело
Archimedean solid
В геометрии усечённый икосаэдр — это Архимедово тело, одно из 13 выпуклых изогональных непризматических многогранников, 32 грани которого состоят из двух или более типов правильных многоугольников. Это единственная из этих форм, не содержащая треугольников или квадратов. Обычно, если не указано иное, подразумевается, что степень усечения однородна. У него 12 правильных пятиугольных граней, 20 правильных шестиугольных граней, 60 вершин и 90 рёбер. Это полиэдр Голдберга GPV(1,1) или {5+,3}1,1, содержащий пятиугольные и шестиугольные грани. Эта геометрия ассоциируется с футбольными мячами, обычно имеющими узор из белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Геодезические купола, такие как те, архитектуру которых разработал Бакминстер Фуллер, часто основаны на этой структуре. Она также соответствует геометрии молекулы фуллерена C60 ("бакибол"). Она используется в клеточно-транзитивной гиперболической пространственно-заполняющей тесселяции, биусечённой сотовой структуре додекаэдра пятого порядка.
In geometry, the truncated icosahedron is an Archimedean solid, one of 13 convex isogonal nonprismatic solids whose 32 faces are two or more types of regular polygons. It is the only one of these shapes that does not contain triangles or squares. In general usage, the degree of truncation is assumed to be uniform unless specified. It has 12 regular pentagonal faces, 20 regular hexagonal faces, 60 vertices and 90 edges. It is the Goldberg polyhedron GPV(1,1) or {5+,3}1,1, containing pentagonal and hexagonal faces. This geometry is associated with footballs (soccer balls) typically patterned with white hexagons and black pentagons. Geodesic domes such as those whose architecture Buckminster Fuller pioneered are often based on this structure. It also corresponds to the geometry of the fullerene C60 ("buckyball") molecule. It is used in the cell transitive hyperbolic space filling tessellation, the bitruncated order 5 dodecahedral honeycomb.
Строительство
Этот многогранник можно построить из икосаэдра путем усечения, или отсечения, каждой из 12 вершин на одной трети длины каждого ребра, что создает 12 пятиугольных граней и превращает исходные 20 треугольных граней в правильные шестиугольники.
This polyhedron can be constructed from an icosahedron by truncating, or cutting off, each of the 12 vertices at the one third mark of each edge, creating 12 pentagonal faces and transforming the original 20 triangle faces into regular hexagons.
Характеристики
В геометрии и теории графов существуют некоторые стандартные характеристики многогранников.
In geometry and graph theory, there are some standard polyhedron characteristics.
Приложения
Мячи, используемые в футболе и гандболе, пожалуй, являются самым известным примером сферического полиэдра, аналогичного усечённому икосаэдру, встречающемуся в повседневной жизни. Мяч состоит из того же узора из правильных пятиугольников и правильных шестиугольников, но он более сферичен благодаря давлению воздуха внутри и эластичности материала. Этот тип мяча был представлен на чемпионате мира по футболу в 1970 году (начиная с 2006 года этот культовый дизайн был заменён другими вариантами). Геодезические купола обычно строятся на основе треугольных граней этой геометрии, примеры таких сооружений можно найти по всему миру и они были популяризированы Бакминстером Фуллером. Эта форма также использовалась для линз, фокусирующих взрывные ударные волны детонаторов в атомных бомбах "Gadget" и "Fat Man". Усечённый икосаэдр также можно рассматривать как модель молекулы Бакминстерфуллерена (фуллерена) (C60), или "бакибола" – аллотропной модификации элементарного углерода, открытой в 1985 году. Диаметр футбольного мяча и молекулы фуллерена составляют 22 см и приблизительно 0,71 нм соответственно, таким образом, соотношение размеров составляет около 31 000 000:1. В народном прикладном искусстве большие блестящие шары можно изготавливать, используя узор икосаэдра и пластиковые, пенопластовые или бумажные стаканчики.
The balls used in association football and team handball are perhaps the best known example of a spherical polyhedron analog to the truncated icosahedron, found in everyday life. The ball comprises the same pattern of regular pentagons and regular hexagons, but it is more spherical due to the pressure of the air inside and the elasticity of the ball. This ball type was introduced to the World Cup in 1970 (starting in 2006, this iconic design has been superseded by alternative patterns). Geodesic domes are typically based on triangular facetings of this geometry with example structures found across the world, popularized by Buckminster Fuller. This shape was also the configuration of the lenses used for focusing the explosive shock waves of the detonators in both the gadget and Fat Man atomic bombs. The truncated icosahedron can also be described as a model of the Buckminsterfullerene (fullerene) (C60), or "buckyball", molecule – an allotrope of elemental carbon, discovered in 1985. The diameter of the football and the fullerene molecule are 22 cm and about 0.71 nm, respectively, hence the size ratio is ≈31,000,000:1. In popular craft culture, large sparkleballs can be made using a icosahedron pattern and plastic, styrofoam or paper cups.
История
Обрезанный икосаэдр был известен Архимеду, который классифицировал 13 архимедовых тел в своей утерянной работе. Все, что мы знаем о его исследованиях этих форм, дошло до нас благодаря Паппу Александрийскому, который лишь перечислил число граней для каждого: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников – в случае обрезанного икосаэдра. Первое известное изображение и полное описание обрезанного икосаэдра связано с повторным открытием Пьеро делла Франческа в его книге XV века «De quinque corporibus regularibus», в которой были представлены пять архимедовых тел (пять усечений правильных многогранников). Ту же форму изобразил Леонардо да Винчи в иллюстрациях к книге Луки Пачоли, представлявшей собой плагиат работы делла Франчески, в 1509 году. Хотя Альбрехт Дюрер не включил эту форму в перечень других архимедовых тел, представленный в его книге 1525 года о многогранниках «Underweysung der Messung», описание ее было найдено в его посмертных записях, опубликованных в 1538 году. Иоганн Кеплер позднее заново открыл полный список из 13 архимедовых тел, включая обрезанный икосаэдр, и включил их в свою книгу 1609 года «Harmonices Mundi».
The truncated icosahedron was known to Archimedes, who classified the 13 Archimedean solids in a lost work. All we know of his work on these shapes comes from Pappus of Alexandria, who merely lists the numbers of faces for each: 12 pentagons and 20 hexagons, in the case of the truncated icosahedron. The first known image and complete description of a truncated icosahedron is from a rediscovery by Piero della Francesca, in his 15th century book De quinque corporibus regularibus, which included five of the Archimedean solids (the five truncations of the regular polyhedra). The same shape was depicted by Leonardo da Vinci, in his illustrations for Luca Pacioli's plagiarism of della Francesca's book in 1509. Although Albrecht Dürer omitted this shape from the other Archimedean solids listed in his 1525 book on polyhedra, Underweysung der Messung, a description of it was found in his posthumous papers, published in 1538. Johannes Kepler later rediscovered the complete list of the 13 Archimedean solids, including the truncated icosahedron, and included them in his 1609 book, Harmonices Mundi.