Темы

Теория чисел

Number Theory · 85 статей

  1. Арифметические и числотеоретические функции

    Арифметические функции в теории чисел: определение, свойства и примеры (функция делителей). Обзор функций, область которых – положительные целые числа.

    #682 · 12 мин чтения

  2. Математические гипотезы и предположения

    Математические гипотезы: непроверенные утверждения, стимулирующие развитие математики. Риманова гипотеза, Великая теорема Ферма и поиск опровержений.

    #1347 · 10 мин чтения

  3. Китайская теорема об остатках: решение системы сравнений.

    Китайская теорема об остатках: решение систем сравнений. Нахождение остатка от деления на произведение взаимно простых чисел. История и применение в математике.

    #1739 · 5 мин чтения

  4. Символ Лежандра в теории чисел

    Символ Лежандра в теории чисел: определение, свойства и применение для определения квадратичных вычетов по модулю простого числа p.

    #4494 · 1 мин чтения

  5. Функция Мёбиуса в теории чисел

    Функция Мебиуса в теории чисел: определение, свойства и применение в математике и физике (в т.ч. в модели примон-газа). Обобщения в комбинаторике.

    #5064 · 2 мин чтения

  6. Математика целых чисел и теория чисел

    Теория чисел: изучение свойств целых чисел, простых чисел и арифметических функций. Анализ уравнений и обобщений целых чисел в математике.

    #5193 · 10 мин чтения

  7. Уравнение Пелля: теория и решения

    Уравнение Пелля: решение диофантовых уравнений вида x² - ny² = 1. Бесконечно много решений при n – неквадрат. Приближение √n и история изучения.

    #6010 · 2 мин чтения

  8. Функция Римана-дзета: Анализ и Гипотезы

    Функция Римана-дзета: определение, вычисление Эйлером, связь с базовой проблемой и константой Апери. Важный объект в математическом анализе и теории модулярных форм.

    #6230 · 4 мин чтения

  9. Проблема Варинга и теорема Гильберта-Варинга

    Проблема Варинга в теории чисел: можно ли любое число представить суммой степеней? Решение Гильберта, классификация MSC 11P05, вопрос Диофанта о квадратах.

    #8036 · 2 мин чтения

  10. Вигго Брун: Жизнь и вклад в теорию чисел

    Вигго Брун: норвежский математик, теоретик чисел. Разработал метод "решето Бруна" для решения задач о простых числах (Гипотеза Гольдбаха). Константа Бруна.

    #9575 · 1 мин чтения

  11. Близнечные простые числа: теория и исследования

    Близнечные простые числа: пары простых чисел, отличающихся на 2 (например, 3 и 5). Существуют ли бесконечно много таких пар? Неразрешенная гипотеза в математике.

    #9882 · 2 мин чтения

  12. Чётные числа как сумма двух простых чисел

    Гипотеза Гольдбаха: каждое чётное число >2 – сумма двух простых. Не доказана, но подтверждена для чисел <4e18. Исследования Чудакова и др.

    #10538 · 4 мин чтения

  13. Линейка Голомба: Равномерно распределенные метки

    Голомб-линейка: математический инструмент с уникальными отметками на равных расстояниях. Определение, порядок, длина и связь с массивами Костаса.

    #11317 · 4 мин чтения

  14. Теорема Михайлеску (доказательство гипотезы Каталана)

    Теорема Каталана (гипотеза Михэйлеску): доказательство единственности двух последовательных совершенных степеней – 8 и 9 (2³ и 3²). Теория чисел.

    #14635 · 1 мин чтения

  15. Доказана слабая гипотеза Гольдбаха о простых числах

    Слабая гипотеза Гольдбаха доказана! Каждое нечётное число >5 можно представить суммой трёх простых чисел. Решение Харальда Хельфготта (2013).

    #46572 · 3 мин чтения

  16. Франсуа Эдуард Анатоль Лукас: Жизнь и вклад в математику

    Франсуа Лукас (1842-1891) – французский математик, известный исследованиями последовательности Фибоначчи. Числа и последовательности Лукаса названы в его честь.

    #47235 · 1 мин чтения

  17. Арифметическая прогрессия: определение, свойства и история

    Арифметическая прогрессия: определение, свойства и формула n-го члена. Узнайте, что такое разность и как рассчитывать члены последовательности. Математика.

    #51588 · 1 мин чтения

  18. Гипотеза abc: о разложении на простые множители и суммах чисел

    Гипотеза abc: важная нерешенная проблема в теории чисел о связи простых множителей чисел a, b и a+b. Эквивалентна гипотезе Спиро.

    #52809 · 5 мин чтения

  19. Числа с равномерным распределением цифр и их связь с вычислениями.

    Нормальные числа в математике: равномерное распределение цифр в бесконечной последовательности. Просто нормальные и нормальные числа, плотность цифр.

    #58960 · 4 мин чтения

  20. Теорема Вильсона о простых числах

    Теорема Вильсона о простых числах: критерий простоты числа через факториал. История открытия (Ибн аль-Хайсам, Джон Вильсон). Математика и теория чисел.

    #63117 · 3 мин чтения

  21. Постулат Бертрана о простых числах

    Постулат Бертрана: между любым числом и его удвоением всегда есть простое число. Теорема Чебышёва, доказательство & применение в теории чисел.

    #63999 · 4 мин чтения

  22. Аналитическое исследование чисел: методы комплексного анализа в теории чисел

    Аналитическая теория чисел: применение методов комплексного анализа для решения задач о целых числах. Теорема о простых числах, дзета-функция Римана и др.

    #67496 · 5 мин чтения

  23. Доказательство постулата Бертрана элементарным методом

    Доказательство теоремы Бертрана о простых числах: элементарный подход Эрдёша (1932). Ключевые идеи и шаги доказательства, биномиальные коэффициенты.

    #67976 · 1 мин чтения

  24. Разделы целых чисел: теория и свойства

    Разделы целого числа: определение, свойства и вычисление функции p(n) в теории чисел. Асимптотика, рекуррентные соотношения и теорема Рамануджана.

    #76822 · 1 мин чтения

  25. Регулярные и нерегулярные простые числа

    Регулярные простые числа: определение, свойства и связь с Великой теоремой Ферма. Список первых регулярных простых чисел и их роль в теории чисел.

    #78969 · 3 мин чтения

  26. Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

    Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов: любое натуральное число можно представить как сумму четырёх целых квадратов. Доказана в 1770 году.

    #79411 · 2 мин чтения

  27. Тождество Брахмагупты — Фибоначчи: представление произведений сумм квадратов как сумм квадратов.

    Тождество Брахмагупты-Фибоначчи: разложение произведения сумм квадратов в сумму квадратов. Доказательство Диофанта, связь с другими тождествами в алгебре.

    #79430 · 2 мин чтения

  28. Плотность Шнирельмана в аддитивной теории чисел

    Плотность Шнирельмана в аддитивной теории чисел: мера "плотности" последовательностей. Определение, свойства, связь с теоремой Лагранжа о четырех квадратах.

    #82483 · 2 мин чтения

  29. Доказательство иррациональности числа e

    Доказательство иррациональности числа Эйлера (e). Математическая статья о доказательстве, предложенном Эйлером в 1737 году, с использованием цепных дробей.

    #83348 · 1 мин чтения

  30. Лемма Диксона и её приложения в математике

    Лемма Диксона: конечность минимальных элементов в множествах натуральных чисел. Применение в теории чисел и комбинаторике. Анализ на гиперболе.

    #84886 · 2 мин чтения

  31. Метод бесконечного спуска в математических доказательствах

    Доказательство от противного методом бесконечного спуска: математический прием для опровержения утверждений, показывающий невозможность решения уравнений.

    #84994 · 4 мин чтения

  32. Доказательство перебором случаев

    Доказательство от противного: метод математического доказательства путем проверки конечного числа случаев. Прямое доказательство, исчерпывающий анализ, примеры.

    #85283 · 3 мин чтения

  33. Последовательность Лукаса: свойства и связь с числами Фибоначчи

    Числа Люка: математическая последовательность, похожая на Фибоначчи. Рекурсивное соотношение, золотое сечение, свойства и связь с последовательностью Фибоначчи.

    #91303 · 2 мин чтения

  34. Случайная последовательность Фибоначчи и постоянная Вишваната

    Случайная последовательность Фибоначчи: математическое исследование роста, постоянная Вишваната (1.1319882487943), золотое сечение (1.61803) и формула Бине.

    #93750 · 1 мин чтения

  35. Константа Хинчина и геометрическое среднее коэффициентов цепных дробей.

    Постоянная Хинчина в теории чисел: доказательство, свойства почти всех вещественных чисел и её значение в разложении в цепные дроби. Неразрешенная проблема для π и других констант.

    #98122 · 2 мин чтения

  36. Функция Мертенса и гипотеза Мертенса

    Функция Мертенса в теории чисел: определение, свойства, связь с функцией Мёбиуса. Развенчание гипотезы Мертенса и асимптотическое поведение функции.

    #98200 · 4 мин чтения

  37. Экспоненциальные суммы: математическое описание и приложения

    Экспоненциальные суммы в математике: определение, виды (полные и неполные), применение в задачах и связь с гамма- и бесселевыми функциями.

    #103608 · 1 мин чтения

  38. Сумма обратных квадратов натуральных чисел: Базельская проблема

    Базельская проблема: решение суммирования обратных квадратов натуральных чисел, предложенное Эйлером в 1734 году. История, обобщения и связь с дзета-функцией Римана.

    #106988 · 2 мин чтения

  39. Единичные дроби: свойства и применения.

    Дробь с числителем 1 (1/n): определение, свойства и примеры. Узнайте, что такое единичная дробь, как она образуется и как с ней проводить вычисления.

    #107132 · 5 мин чтения

  40. Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей

    Онлайн энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS): база данных для математиков, созданная Neil Sloane. Информация, свойства и примеры последовательностей.

    #108428 · 8 мин чтения

  41. Наименьшее число, выразимое как сумма двух кубов в n различных способах

    Числа такси (Ta(n)) – наименьшие числа, выражаемые суммой двух кубов n способами. Ta(2) = 1729 (число Харди-Рамануджана). История и математическое определение.

    #110347 · 2 мин чтения

  42. Числа Писота — Виджаярагхавана

    Числа Писо-Виджаярагхавана (PV-числа): алгебраические целые >1, сопряженные с которыми по Галуа имеют абсолютное значение <1. История, применение в рядах Фурье.

    #111157 · 2 мин чтения

  43. Константа Шамперноуна и трансцендентные числа

    Константа Чамперноуна: трансцендентное число, образованное последовательной записью натуральных чисел в различных системах счисления. Математика и теория чисел.

    #114174 · 4 мин чтения

  44. Арифметические прогрессии в плотных подмножествах целых чисел

    Теорема Семереди о арифметических прогрессиях в подмножествах целых чисел. Доказательство, теорема Рота, гипотеза Эрдёша-Турана и связь с теоремой Ван дер Ваардена.

    #120879 · 2 мин чтения

  45. Известные нерешенные математические гипотезы

    Открытые математические гипотезы: abc-гипотеза, гипотеза Коллатца, гипотеза Агоха-Гиуги и другие нерешенные задачи в теории чисел и геометрии.

    #122122 · 3 мин чтения

  46. Теорема Рота об алгебраических числах и диофантовом приближении.

    Теорема Рота об алгебраических числах: доказательство невозможности "очень хорошей" рациональной аппроксимации иррациональных алгебраических чисел. Математика.

    #145376 · 2 мин чтения

  47. Гипотеза Гилбрета: Исследования и обобщения в теории чисел

    Гипотеза Гилбрета в теории чисел: закономерности в последовательностях простых чисел и их разностях. Открытая проблема, исследованная Протом и Одлыжко.

    #170431 · 2 мин чтения

  48. Методы решеточного просеивания для оценки размеров множеств целых чисел.

    Теория решет: оценка количества целых чисел в просеянных множествах. Обзор методов, включая решето Эратосфена и Лежандра, и преодоление ошибок при подсчете простых чисел.

    #173532 · 2 мин чтения

  49. Гипотеза Батмана — Хорна: частота простых чисел и аналогии над конечными полями.

    Гипотеза Батмана-Хорна: частота простых чисел среди значений полиномов. Обобщение теорем о простых числах, включая гипотезу о близнецах. Математика.

    #179262 · 2 мин чтения

  50. Периоды последовательности Фибоначчи по модулю целого числа

    Периоды Фибоначчи по модулю: определение, свойства и связь с числами Фибоначчи. Узнайте о периоде Пизано и его значении в теории чисел.

    #184608 · 2 мин чтения

  51. Числа Пелля и приближение квадратного корня из двух

    Числа Пелля: последовательность целых чисел, аппроксимирующих √2. Свойства, связь с треугольными числами и решением уравнений. История и применение в математике.

    #209128 · 2 мин чтения

  52. Последовательности Соболя: квазислучайные последовательности с малой дисперсией.

    Последовательности Соболя: квазислучайные последовательности с низкой расходимостью для численного анализа. Разработаны И.М. Соболем в 1967 году.

    #209481 · 4 мин чтения

  53. Уникальное представление целых чисел в виде сумм чисел Фибоначчи без соседних слагаемых

    Теорема Цекендорфа: уникальное представление целых чисел как суммы чисел Фибоначчи без соседних. Разложение на числа Фибоначчи, кодирование Фибоначчи.

    #211334 · 1 мин чтения

  54. Роже Апери: Жизнь и вклад французского математика.

    Роджер Апери (1916-1994) – французский математик, известный теоремой Апери о иррациональности числа ζ(3). Биография, Riemann zeta функция, École normale supérieure.

    #215521 · 2 мин чтения

  55. Медианта дробей: определение и свойства

    Медианта дробей: определение, формула вычисления (сумма числителей и знаменателей). Объяснение понятия и примеры для лучшего понимания математики.

    #215548 · 1 мин чтения

  56. Задача Знама о делимости множеств целых чисел

    Задача Знама о делимости множеств целых чисел, последовательность Сильвестра и египетские дроби. Решения и связь с теорией чисел.

    #218868 · 2 мин чтения

  57. Метод круга Харди — Рамануджана — Литтлвуда

    Метод Харди — Рамануджана — Литтлвуда: мощный инструмент аналитической теории чисел. Разработан для решения задач, включая проблему Варинга и асимптотику функций.

    #225322 · 5 мин чтения

  58. Теоремы Шура: Обзор в различных областях математики

    Теорема Шура в математике: дискретная математика, дифференциальная геометрия, функциональный анализ и комбинаторика. Представление чисел и свойства.

    #225390 · 2 мин чтения

  59. Математические тождества для чисел Фибоначчи

    Формулы Фибоначчи: тождества Кассини и Каталана. Узнайте об этих математических идентичностях, их истории и обобщениях, открытых Кассини и Каталан.

    #231836 · 1 мин чтения

  60. Бинарная последовательность Фибоначчи и её свойства

    Слово Фибоначчи: бинарная последовательность, генерируемая по принципу чисел Фибоначчи. Штурмовское и морфическое слово, пример формального языка L.

    #243363 · 1 мин чтения

  61. Иррациональность ζ(3) и суммы обратных кубов натуральных чисел

    Апери доказал иррациональность константы ζ(3) – суммы обратных кубов натуральных чисел. Теорема Апери и альтернативное доказательство Беукерса.

    #244321 · 1 мин чтения

  62. Карл Стормер: математик, геофизик и фотограф

    Карл Штёрмер – норвежский геофизик, математик и член Королевского общества. Известен исследованиями и увлечением уличной фотографией знаменитостей.

    #263189 · 3 мин чтения

  63. Большое решето в аналитической теории чисел

    Большое решето – метод аналитической теории чисел для оценки размера множеств, ограниченных условиями на остатки по простым числам. Сравнение с малыми решетами.

    #268886 · 2 мин чтения

  64. Гипотеза Артина о первообразных корнях

    Гипотеза Артина о первообразных корнях: для какого числа *a* существует бесконечно много простых чисел *p*, где *a* является первообразным корнем? Не решена с 1927.

    #279555 · 3 мин чтения

  65. Джузеппе Мельфи: Итало-швейцарский математик и его вклад в теорию чисел

    Джузеппе Мельфи – итало-швейцарский математик, эксперт в области практических чисел и модулярных форм. Исследования, асимптотическое поведение чисел.

    #296431 · 1 мин чтения

  66. Покрывающие системы: Теория, результаты и нерешенные вопросы

    Системы покровов в математике: определение, теорема Мирского-Ньюмана о невозможности непересекающихся систем и история доказательства (Эрдёш, Мирский, Ньюман).

    #298794 · 2 мин чтения

  67. Проблема Фробениуса: наибольшая непредставимая сумма

    Проблема Фробениуса: поиск максимальной суммы, которую нельзя получить монетами заданного номинала. Решение существует при взаимной простоте номиналов.

    #299265 · 5 мин чтения

  68. Гипотеза Эрдёша — Штрауса о сумме единичных дробей 4/n

    Гипотеза Эрдеша-Штрауса о сумме египетских дробей 4/n. Неразрешенная проблема теории чисел, поиск решений для n ≥ 2. Математические исследования.

    #310373 · 6 мин чтения

  69. Дерево Штерна — Брокота: Рациональные числа и медианты

    Дерево Штерна-Брокота: упорядоченное двоичное дерево рациональных чисел. Применение в теории чисел и механике, аппроксимация рациональных чисел.

    #319753 · 3 мин чтения

  70. Простые числа между квадратами: гипотеза Лежандра и связанные проблемы.

    Гипотеза Лежандра о простых числах: между любыми двумя квадратами всегда найдется простое число. Не доказана, но активно исследуется математиками.

    #325802 · 2 мин чтения

  71. Приближение действительных чисел рациональными: теоремы Дирихле и Лежандра.

    Теорема Дирихле о диофантовых приближениях: любое вещественное число можно хорошо приблизить рациональными числами. Иррациональные числа, мера иррациональности.

    #336810 · 3 мин чтения

  72. Числа Маркова и уравнение Маркова

    Числа Маркова: решение диофантова уравнения x² + y² + z² = 3xyz. Свойства, примеры (1, 2, 5, 13...), способы получения новых троек Маркова.

    #351534 · 2 мин чтения

  73. Разложение Энгеля: свойства и применение

    Разложение Энгеля: представление чисел бесконечными или конечными последовательностями целых. Рациональные числа – конечные, иррациональные – бесконечные.

    #351661 · 2 мин чтения

  74. Закон квадратичной взаимности: различные доказательства и подходы.

    Закон квадратичной взаимности: обзор сотен доказательств в теории чисел. Комбинаторные методы Эйзенштейна и лемма Золотарева для решения задачи.

    #360818 · 4 мин чтения

  75. Бесконечность простых чисел: доказательство Евклида

    Бесконечность простых чисел: доказательство теоремы Евклида. Простое и элегантное математическое утверждение о бесконечном количестве простых чисел.

    #364754 · 4 мин чтения

  76. Большие и малые множества целых чисел

    Большие и малые множества целых чисел в комбинаторике: расхождение сумм обратных величин, теорема Мюнца-Саша, гипотеза Эрдёша. Математические понятия.

    #365461 · 2 мин чтения

  77. Ограничение на количество последовательных гладких чисел

    Теорема Штёрмера в теории чисел: конечное число пар гладких чисел. Метод поиска с использованием уравнений Пелля и упрощение Лемера. Гладкие числа, простые множители.

    #384520 · 5 мин чтения

  78. Квадратные числа в арифметической прогрессии и проблема конгруэнтности.

    Конгруум в теории чисел: разность между последовательными квадратами в арифметической прогрессии. Решение проблемы конгруумов и связь с треугольниками Пифагора.

    #388288 · 2 мин чтения

  79. Бесконечные суммы и IP-множества: Теорема Хиндмана

    Множества IP в математике: определение, свойства и связь с конечными суммами бесконечных множеств. Изучение FS(D) и последовательностей (ni).

    #418347 · 2 мин чтения

  80. Последовательности, содержащие все конечные подстроки: свойства и классификация

    Разъединяющие последовательности: определение, свойства и связь с нормальными последовательностями. Сложность последовательностей и примеры (последовательность Чамперноуна).

    #432506 · 1 мин чтения

  81. Свойства больших множеств и гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях

    Гипотеза Эрдёша о арифметических прогрессиях: если сумма обратных величин элементов множества расходится, оно содержит прогрессии любой длины. Математика.

    #435749 · 2 мин чтения

  82. Аддитивная теория чисел: изучение подмножеств целых чисел и суммируемости.

    Аддитивная теория чисел: изучение подмножеств целых чисел и их свойств при сложении. Суммарные множества, прямые задачи и структура множеств hA.

    #444099 · 2 мин чтения

  83. Последовательность Сильвестра: свойства и применения

    Последовательность Сильвестра: определение, свойства и быстрый рост. Математическая последовательность, сходящаяся к 1 быстрее других дробных рядов.

    #448253 · 2 мин чтения

  84. Squared triangular number

    #467321 · 2 мин чтения

  85. Landau's problems

    #508271 · 4 мин чтения